Cari studenti e studentesse, ci siamo salutati due giorni fa per la pausa pasquale e, come avrete notato, non vi ho dato compiti per le vacanze. Chi di voi mi conosce da anni sa che è mia abitudine non darne e sa che sono contrario per tanti motivi che non vale la pena ricordare qui (ve ne ho parlato molte volte in classe). Mi auguro quindi che stiate riposando e che possiate tornare tra pochi giorni in classe con un po’ di energie in più per poter finire degnamente l’anno scolastico. Vi ho anche detto giovedì che se qualcuno vuole ripassare o fare qualche esercizio in questi giorni certamente male non fa, senza esagerare e senza perderci il sonno. Avete ottimi libri su cui cercare qualche problema interessante. Nel caso però il libro non vi ispiri, vi lascio qui di seguito qualche esercizio, diviso per anni, su cui pensare. Non sono esercizi come quelli del libro, sono problemi (alcuni anche non semplici) che dovrebbero, in teoria, stimolare la vostra creatività. L’unico scopo è quello di farvi voltare per un attimo indietro ad ammirare con stupore il percorso che avete fatto, gli strumenti concettuali che avete acquisito ѕono straordinari e vi permettono ormai di ragionare (se ne avete voglia e tempo) su questioni intricate. Come al solito non sono interessato alla soluzione dettagliata, mi interessa sapere, se qualcuno di voi vorrà provare a farne qualcuno, che strada avete scelto, quale ragionamento, quale difficoltà, che tipo di panorama vi hanno mostrato. Sono problemi simili a quelli che spesso inserisco nei compiti (e che voi saltate regolarmente, ma io sono testardo ed insisto).

Senza impegno, solo se avete voglia, solo se siete ispirati dal momento. Buona Pasqua a tutti voi.

Primo anno

  1. Come dimostreresti il prodotto notevole algebricamente? E geometricamente? Saresti in grado di trovare anche una scomposizione per o, più in generale, per ? Che ragionamento seguiresti? E cosa mi sai dire di ? Esiste secondo te una analoga scomposizione per e se no, perché?
  2. Usando gli assiomi di Peano e gli assiomi che definiscono somma e moltiplicazione per i numeri naturali visti all’inizio dell’anno, sapresti dimostrare formalmente che $a + a = a\cdot 2$ per ogni naturale $a$?
  3. Dati due numeri in rappresentazione binaria (supponi che abbiano lo stesso numero di bit), scopri la regola per sommarli senza passare attraverso la loro usuale rappresentazione decimale. Per esempio quanto fa $001 + 001$?
  4. Considerando la rappresentazione ad albero binario di un numero binario (te la ricordi, vero?), sperimenta cosa significa “aggiungere uno” ad un numero binario in termini di posizione sull’albero. Intravedi delle regolarità? E se invece “aggiungo due”? Oppure “aggiungo quattro”? In che modo potrebbe aiutarti a risolvere il problema precedente?
  5. Spiega perché se appoggio una scala ad un muro è bene che i piedi di appoggio della scala sul pavimento siano di gomma. Sapresti stimare quanto potrebbe essere il coefficiente di attrito statico della gomma sul pavimento per una situazione ragionevole?
  6. Secondo te quanto può essere alto al massimo un grattacielo? Perché? Che dati ti servirebbero per fare una stima dell’ordine di grandezza? Sei in grado di procurarteli?
  7. Cercando i dati necessari in rete (o sul tuo libro), sapresti stimare una densità media per la terra? E per la luna? E per il sole? Sono molto diverse? Secondo te cosa possiamo capire da questo semplice calcolo?

Quinto anno

  1. Sapresti trovare il campo elettrico all’interno di una distribuzione omogenea ed infinita di cariche elettriche (positive, per esempio)? Riesci a scorgere una qualche apparente contraddizione con il teorema di Gauss? E come la risolveresti, nel caso?
  2. Usando le idee dell’elettromagnetismo e della teoria cinetica dei gas viste insieme quest’anno, sapresti trovare qual’è in media la distanza di avvicinamento massimo tra due protoni in una nube di idrogeno (monomolecolare) a temperatura $T$? Che ipotesi faresti? Cosa ti suggerisce questo calcolo (semplicistico) per quanto riguarda l’innesco di reazioni di fusione nucleare?
  3. Abbiamo visto insieme che in relatività ristretta, in una dimensione, vale ancora l’equazione dinamica

    se si prende la quantità di moto

    dove, ricordati, per noi $c=1$. Sapresti determinare la legge oraria $x(t)$ nel caso di forza costante? Prendi per semplificare $F/m = 1$. Cosa puoi dire in confronto al caso classico non relativistico? Perché possiamo dire che nel caso relativistico la soluzione presenta un apparente orizzonte degli eventi? Sapresti disegnare un diagramma spaziotemporale con la traiettoria?

  4. Considera la forza gravitazionale di Newton su un corpo di massa $m$ ad altezza $h$ sul livello del mare

    dove $M$ è la massa della terra e $R$ il suo raggio. Sviluppa la precedente espressione della forza in serie di Taylor rispetto alla variabile $h$ vicino al punto $h=0$. In particolare come interpreti il termine di grado zero? Se consideri lo sviluppo al primo ordine come cambia il moto di caduta libera di un corpo rispetto al classico problema che hai imparato a risolvere tanti anni fa? Sapresti per esempio determinare come cambia il tempo di caduta? Riesci a vedere il motivo per cui é del tutto inutile un tale conto per situazioni realistiche quotidiane?

  5. Sapresti usare lo sviluppo in serie di Taylor per trovare in modo approssimato, eventualmente con un algoritmo iterativo, gli zeri di una funzione? In che senso questo sarebbe una generalizzazione del metodo delle tangenti di Newton? Riesci ad applicare questa idea per trovare uno zero della funzione $\cos(x) - x$?
  6. Abbiamo visto in classe l’equazione differenziale per il raffreddamento di una tazzina di caffè per conduzione termica con l’ambiente (equazione già trovata da Newton, non per il caffè). Come cambierebbe l’equazione se si tenesse conto dell’irraggiamento, approssimando la tazzina di caffè con un corpo nero (ricorda la legge di Stefan-Boltzmann)? Sapresti dire qualcosa sulla sua soluzione?
  7. Sempre parlando di corpo nero, sapresti ragionare su come trovare la distanza dal sole di un pianeta perché la sua temperatura sia compatibile con quella dell’acqua liquida? Chiaramente in modo approssimato e facendo tutta una serie di semplificazioni. Quali?
  8. Abbiamo visto insieme l’equazione differenziale del modello logistico

    che rappresenta l’andamento di una popolazione soggetta a delle risorse finite. Ricorderai che la soluzione presentava un asintoto a cui tende la popolazione in equilibrio. Lo sapresti ritrovare senza leggere gli appunti presi in classe? Hai preso degli appunti in classe, vero? Come cambia la situazione se si aggiunge un termine negativo costante

    che potrebbe rappresentare una perdita continua di risorse del sistema? Riusciresti in tal caso a dire qualcosa sul modello, anche senza risolverlo analiticamente? Riusciresti ad impostare una possibile soluzione?

  9. Richard Feynman aveva un metodo tutto suo molto rapido per derivare funzioni piuttosto complicate. Ecco un esempio: supponi di avere una funzione fatta in questo modo

    Feynman avrebbe scritto subito una cosa del genere

    Sei d’accordo con questa tecnica? Perché? Funziona anche con esponenti $n,m,l$ negativi? Sapresti dimostrare che in generale fornisce lo stesso risultato che conosci tu? Ti sembra più rapida dell’usuale calcolo che faresti?