Oggi abbiamo affrontato in classe un quesito capitato alcuni anni fa in un esame di maturità. Dopo averlo risolto in classe per via discorsiva, ho invitato la classe a provare una soluzione rigorosa usando il teorema di Bayes, sbagliando nel citarne il contenuto. L'esercizio è interessante per diversi aspetti, rimedio allo sbaglio discutendolo qui. Ecco il testo

Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia femmina. Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli. Si chiede: qual è la probabilità che anche l'altro figlio della sig.ra Anna sia femmina? Si argomenti la risposta. 


In realtà si tratta di un noto problema di probabilità che può essere affrontato in vari modi. Per esempio si possono considerare tutte le possibili configurazioni in cui una persona può avere due figli, ovvero MM, FM, MF ed FF (M indica figlio maschio, F femmina). Ora analizziamo alcuni casi:
  1. se di una persona si sa che ha due figli, qual'è la probabilità che siano entrambe femmine? Ammettendo l'equiprobabilità di M e di F, allora si può considerare un caso favorevole (FF) su quattro casi possibili, quindi 1/4.
  2. Il quesito dell'esame però specificava che il caso MM è da togliere dalle possibilità (altrimenti la sig.ra Anna non sarebbe potuta andare alla festa), quindi in realtà è un caso favorevole su tre, ovvero la probabilità richiesta e' di 1/3.
Da notare l'importante distinzione tra il caso FM ed il caso MF che vanno contati separatamente.
Questo è un classico esempio che mostra come la conoscenza della situazione (partecipare o meno alla festa, ovvero l'esclusione di alcuni casi possibili) porta ad una modifica delle probabilità. La probabilità di un certo evento dipende quindi dal nostro grado di conoscenza della situazione.

Veniamo a Bayes. Nella sua formulazione più semplice il teorema di Bayes dice (oggi ho riportato sulla lavagna una formulazione sbagliata per disattenzione)

$$ P(A | B) = \frac{P (B | A) P(A)}{P(B)} $$

dove $P(A|B)$ è la probabilità che avvenga l'evento $A$ condizionata all'evento $B$ e $P(A)$ e $P(B)$ sono le probabilità che avvengano $A$ e $B$ rispettivamente.

Se ora definiamo $A$ come l'evento "Anna ha due figlie femmine" e $B$ come l'evento "Anna ha almeno una figlia femmina", abbiamo i seguenti valori

$ P(B| A) = 1 $ (in quanto la probabilità di avere almeno una figlia femmina sapendo che ne ha due entrambe femmine è chiaramente pari a 1)

$ P(A) = 1/4 $ (per quanto visto sopra il casso FF è 1 su quattro)

$ P(B) = 3/4 $ (per quanto visto sopra le configurazioni che hanno almeno una F sono 3 su 4).

Sostituendo questi valori in Bayes si ottiene che la probabilità che Anna abbia due figlie femmine sapendo (condizionata) che ha almeno una figlia femmina è pari a 1/3, in accordo con quanto visto prima.

E' interessante notare, infine, che cambiando leggermente il problema si ottiene un risultato pari ad 1/2 (che sembrava a molti più intuitivo); se infatti l'evento $B$ fosse "Anna ha la prima figlia femmina", allora $P(B)$ diventa pari a 1/2 ed il risultato finale diventa appunto 1/2. Sembra una differenza da poco, ma in realtà il risultato cambia completamente (all'epoca ero commissario di esame e ricordo lo strascico di polemiche seguito al quesito in questione).

Scusate per l'errore in classe stamattina, spero che la soluzione sia chiara.