Rispondo solo ora ad una domanda di uno studente di quinta, in classe
ho tergiversato e quindi fornisco qui la soluzione. L'integrale è il seguente

$$ \int \frac{1}{(x^2+1)^\frac{3}{2}} {\rm d} x$$

L'idea giusta è quella proposta da Micossi in classe, ovvero
effettuare una sostituzione goniometrica

$$ x = \tan(t) $$

da cui, per le regole di differenziazione

$$ {\rm d} x = \frac{1}{\cos^2(t)}{\rm d} t$$

(ricordo che la derivata di $\tan(x)$ è $\frac{1}{\cos^2(x)}$).

Ricordando che

$$ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} $$

e quindi

$$ \tan^2(t) + 1 = \frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)} + 1 = \frac{\sin^2(t) +
\cos^2(t)}{\cos^2(t)} = \frac{1}{\cos^2(t)}$$

(l'ultimo passaggio per la relazione fondamentale della goniometria)

sostituendo nell'integrale si ottiene

$$ \int \cos(t) {\rm d} t $$

che è un'integrale immediato, ovvero

$$ \sin(t) + c $$.

Infine otteniamo

$$ \sin(\tan^{-1}(x)) + c $$.

A dire il vero questo risultato lo abbiamo ottenuto velocemente anche
in classe, ma poi non tornava con il risultato del libro ed abbiamo
lasciato perdere. In realtà è abbastanza semplice esprimere il
risultato in termini algebrici non goniometrici. Si prenda infatti un
triangolo rettangolo con cateti $1$, $x$ e, di conseguenza, con
ipotenusa $\sqrt{x^2 + 1}$, e sia $\theta$ l'angolo opposto al cateto
lungo $x$. Per noti teoremi di trigonometria, si ha che

$$ x = \tan(\theta)$$

ovvero

$$ \theta = \tan^{-1}(x)$$.

Inoltre, sempre per la trigonometria, si ha che

$$ x = \sqrt{x^2 + 1} \sin(\theta)$$

ovvero

$$ \sin(\theta) = \sin(\tan^{-1}(x)) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $$

Mettendo insieme questi risultati abbiamo il risultato finale

$$ \int \frac{1}{(x^2+1)^\frac{3}{2}} {\rm d} x = \frac{x}{\sqrt{x^2 +
1}} $$

Chiudo scusandomi per non averlo risolto in questo modo in classe, era
abbastanza semplice.