Oggi in quinta, durante una lezione sulle equazioni differenziali, non ho risposto in modo esaudiente ad una domanda ed ho fatto un errore rispondendo ad un'altra, una mattinata da dimenticare. A mia discolpa il livello alto delle domande (colpa di studenti troppo bravi) e la fretta nel cercare di rispondere comunque. Cosa fatta capo ha, cerco di rimediare qui cogliendo l'occasione per scrivere qualcosa che possa essere utile ai miei studenti ed alle mie studentesse in futuro. Inizio dall'imprecisione, in un prossimo post parlerò dell'errore commesso nell'altra domanda.

Il problema posto stamane in classe (da Micossi) è il seguente: dimostrare che la superficie libera dell'acqua contenuta in un bicchiere cilindrico in rotazione è un paraboloide (ovvero una sua sezione verticale è una parabola). In classe, seguendo i vostri suggerimenti, abbiamo effettivamente verificato che è una parabola, rimaneva aperto il problema della costante di integrazione. Vediamo. Facendo riferimento al disegno



dobbiamo dimostrare che la curva che rappresenta una sezione della superficie libera con un piano verticale è una parabola. Consideriamo un porzione piccola di massa $m$ di acqua in un punto qualsiasi della curva di coordinate $(x,y$; la componente lungo $y$ della forza normale alla superficie che la porzione di acqua subisce deve essere uguale alla forza peso

$$ N_y = mg $$

mentre la componente lungo $x$ deve esse la forza centripeta che mantiene la porzione di acqua in rotazione uniforme con velocità angolare $\omega$ e raggio $x$, ovvero

$$ N_x = m \omega^2 x $$

Ma si ha anche

$$N_x = N \sin(\theta)$$

e

$$ N_y = N \cos(\theta)$$

con $\theta$ l'angolo tra la tangente alla curva e l'asse delle $x$ (dimostrate per esercizio).

Quindi, facendo il rapporto, si ottiene

$$ \tan(\theta) = \frac{\omega^2 x}{g} $$

Ricordando che $$\tan(\theta)$$ è la derivata di $y(x)$ nel punto $x$, si ottiene la seguente equazione differenziale

$$ y' = \frac{\omega^2 x}{g} $$

che si può risolvere per separazione di variabili (come abbiamo visto in classe)

$$ \frac{{\rm d} y}{{\rm d} x} = \frac{\omega^2 x}{g} $$

e

$$ \int{\rm d}y= \int \frac{\omega^2 x}{g} {\rm d}x $$

da cui

$$ y = \frac{\omega^2 x^2}{2g} + c $$

con $c$ la costante di integrazione. Questo dimostra che la superficie libera dell'acqua nel bicchiere in rotazione è un paraboloide. Il problema ora è determinare $c$. In classe abbiamo pensato di mettere $c$ pari a $h$ per avere il caso particolare in cui $\omega$ è zero, ma in questo modo vi siete accorti che il volume del liquido aumenta e a meno di non creare massa dobbiamo ipotizzare una diminuzione di densità. La condizione giusta per determinare $c$ è invece quella di chiedere che il volume senza rotazione ed il volume con la rotazione siano uguali. Ecco a grandi linee il calcolo (utile esercizio sui solidi di rotazione che abbiamo fatto insieme).

Il volume del liquido senza rotazione è pari a quello di un cilindro di raggio di base $R$ ed altezza $h$, ovvero

$$V = \pi R^2 h $$

Il volume del liquido quando il bicchiere ruota è pari alla somma del volume di un cilindro di altezza $c$ e della differenza tra un cilindro di altezza  $\frac{\omega^2 R^2}{2g}$ ed il paraboloide dato dalla superficie libera dell'acqua

$$ V' = \pi R^2 c + \pi \frac{\omega^2 R^4}{2g} - V_{paraboloide} $$

Per calcolare quest'ultimo si usa l'integrale, dove abbiamo posto

$$ a = \frac{\omega^2}{2g}$$

$$ V_{paraboloide} = \frac{\pi}{a} \int_c^{a R^2 + c} (y - c) {\rm d} y $$

ovvero

$$ V_{paraboloide} = \frac{\pi a R^4}{2}$$

Mettendo tutto insieme si ottiene

$$ V_{paraboloide} = \frac{\pi \omega ^2 R^4}{4 g} $$

Ponendo infine

$$V = V'$$

si ottiene

$$ \pi R^2 h = \pi R^2 c +\pi\frac{\omega^2 R^4}{4g}$$

da cui otteniamo la costante di integrazione richiesta

$$ c =  h - \frac{\omega^2 R^2}{4g} $$

Da notare che quando $\omega$ si annulla $c$ diventa pari a $h$, come è intuitivo che avvenga.

La parabola diventa quindi

$$ y = \frac{\omega^2 x^2}{2g} +  h - \frac{\omega^2 R^2}{4g} $$