Con piacere ospito in questo blog un errore non mio. Anzi, una serie di errori non miei; d'altra parte lo spirito di questo mio piccolo spazio è mostrare come si possa imparare anche (soprattutto) dagli errori, che siano miei o di altri poco importa. Ieri ho ricevuto le soluzioni ufficiali inviate dal Ministero della prova di simulazione di esame di maturità che si è svolta in tutti i Licei Scientifici di Italia il 22 aprile 2015. Non voglio parlare della prova (che non mi è piaciuta) perché ho già speso abbastanza energia in un'analoga situazione per scrivere al Ministro. Mi autocensuro e vorrei qui discutere solo degli aspetti tecnici di una delle soluzioni proposte dal Ministero ad un suo quesito, il numero 1. Trovo che nella prova ci siano diverse imprecisioni (chiamiamole così) ed un errore anche relativamente grave. Poco male, a tutti capita di sbagliare (questo posto ne è testimonianza); quindi non me la prendo con l'estensore della soluzione (che non so se è anche l'estensore del quesito). Certo da un'organo ufficiale come il Ministero ci si aspetterebbe più cura nelle cose, soprattutto nella didattica della Matematica, argomento così delicato. Ma bando alle ciance, analizziamo il quesito e la soluzione proposta dal Ministero.

Il quesito è all'apparenza semplice: data la funzione

$$ f(x) = e^{x^3 - 8} $$

si chiede innanzitutto di dimostrare che è invertibile.

Una prima considerazione: l'invertibilità di una funzione $f(x)$ dipende dal dominio e dal codominio specificati. Mi spiego meglio: l'invertibilità richiede che la funzione sia iniettiva e suriettiva. Se non specifico il dominio ed il codominio, queste due proprietà non hanno molto senso. Per esempio la funzione

$$ f(x) = x^2$$

se definita da $R$ in $R$ non è suriettiva (non esiste alcun $x$ che ha come immagine, per esempio, $-1$). Mentre la stessa funzione se definita da $R$ in $R_0^+$ diventa suriettiva. Stesso discorso si può fare per l'iniettività. Cosa devo dunque capire della funzione proposta dal quesito ministeriale? La prendo da $R$ in $R$? In tal caso non è invertibile in quanto non suriettiva (un esponenziale, qualunque sia l'argomento, non è mai negativo). Devo allora considerarla come funzione da $R$ in $R^+$ perché sia suriettiva (dopo lo dimostriamo).

Già da questa prima battuta mi sembra evidente un po' di superficialità. Se poi guardo la soluzione inviata dal Ministero è piuttosto deludente su questo punto, di suriettività non ne parla minimamente e prende per scontato come codominio $R^+$ (intendo i numeri reali positivi). Questa cosa ha un nome, si chiama restrizione del codominio all'immagine, Dove é scritto nel testo? Lo so, è una questione di lana caprina, però pretendiamo rigore dai nostri studenti e dalle nostre studentesse, e poi?

Ma pazienza, andiamo avanti. Proviamo a dimostrare con dominio $R$ e codominio $R^+$ che è iniettiva e suriettiva. Il Ministero se la sbriga con la seguente frase:

  La funzione f(x) è una funzione esponenziale con la base >1
  quindi è definita , continua e derivabile per ogni x appartenente ad
  $R$ ed è strettamente crescente in R, e come tutte le funzioni
  monotone strettamente crescenti è biunivoca, quindi invertibile .

Alcuni commenti:

1. non è una funzione esponenziale, ma una funzione composta. È vero che in questo caso continua e derivabile, ma solo perché  l'argomento $x^3 - 8$ lo è, altrimenti non è detto.

2. (nella prima stesura di questo punto ho fatto un errore, nello spirito di questo blog; ringrazio i colleghi, tra cui Alessandro Zampa, per la segnalazione) non è detto che sia strettamente crescente: condizione sufficiente, visto che è derivabile, dovrebbe essere $ f^{'}(x) > 0 $; invece

           $$ f^{'}(x) = 3x^2 e^{x^3 - 8} $$

che si annulla in zero. Possiamo quindi dire con certezza che la funzione quindi è solo non decrescente, non è detto che sia biunivoca. In realtà questa funzione è anche strettamente crescente, ma non per il motivo fornito nella soluzione ministeriale (che non riporto ma che usa sostanzialmente la condizione $f^{'}(x) \geq 0$ che non è invece un criterio accettabile).

3. in ogni caso avvocare il fatto che sia biunivoca (e quindi  invertibile) perché strettamente crescente (e va dimostrato) mi sembra una dimostrazione per intimidazione, non è certo una argomentazione che mi aspetto da uno studente o una studentessa (tantomeno dal Ministero).

Io personalmente l'avrei risolta così (cosa che ho fatto in classe il giorno dopo la simulazione).

Iniettività: la funzione è iniettiva se presi due valori $x_1$ e $x_2$ se

$$ f(x_1) = f(x_2) $$

allora ne segue

$$ x_1 = x_2 $$

Provando

$$ e^{x_1^3 - 8} = e^{x_2^3 - 8}$$

siccome l'esponenziale (lui si) è una funzione strettamente crescente, allora

$$ x_1^3 - 8 = x_2^3 - 8$$

ovvero

$$ x_1^3 = x_2^3 $$

da cui

$$ (x_1^3 - x_2^$) = 0 $$

e per una nota proprietà della differenza dei cubi (intimidazione)

$$ (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) = 0$$

Il secondo fattore non può annullarsi (esercizio per casa), quindi

$$ x_1 = x_2 $$

ovvero la funzione è iniettiva. Certo, è più lunga della soluzione ministeriale, ma almeno questa mi sembra corretta (se mi sbaglio fate un fischio e provvedo a modificare).

Per la suriettività devo dimostrare che per ogni $y$ in $R^+$ esiste un $x$ in $R$ tale che $y = f(x)$. Io lo avrei calcolato esplicitamente:

$$ y = e^{x^3 - 8} $$

prendendo il logaritmo naturale

$$ \ln(y) = x^3 - 8$$

da cui

$$ x = \sqrt[3]{ln(y) + 8} $$

quindi abbiamo trovato la $x$ che ha come immagine la $y$ di partenza, qualunque sia la $y$. Dunque la funzione è suriettiva. Suriettiva ed iniettiva significa bigettiva e quindi invertibile. Per inciso abbiamo anche esplicitamente trovato l'inversa che è appunto

$$ f^{-1}(y) = \sqrt[3]{ln(y) + 8} $$

Passiamo alla seconda domanda dove si trova l'errore più grave della soluzione ministeriale. La domanda chiedeva di stabilire se la funzione inversa $f^{-1}(y)$ è derivabile nel suo dominio. La risposta è no, mentre il Ministero ha mandato una soluzione (sbagliata) dove si dice di si.

Che la $f^{-1}(y)$ non sia derivabile in tutto il suo dominio lo si vede immediatamente e senza nemmeno bisogno di fare la derivata esplicitamente, basta usare il teorema della derivata della funzione inversa che dice (sostanzialmente) che (indico con $D()$ la derivata)

$$ D(f^{-1}(y_0) )= \frac{1}{D(f(x_0))} $$

con

$$ y_0 = f(x_0)$$

Prima abbiamo ricavato la derivata di $f(x)$ ed abbiamo già verificato che si annulla in $x=0$. Dunque la funzione inversa non è derivabile in $y_0 = f(0)$ ovvero in $y_0 = e^{-8}$. Siccome $D(f(x))$ è sempre positiva, la $D(f^{-1}(y)$ tende a $+\infty$ sia da destra che da sinistra del punto considerato, dunque in $e^{-8}$ si ha un asintoto verticale della derivata della funzione inversa.

Se poi uno vuole può prendere la funzione inversa che abbiamo trovato, ne fa la derivata e verifica esplicitamente che in $e^{-8}$ non è derivabile. Di tutto questo nemmeno l'ombra nella soluzione ministeriale, per il Ministero la funzione inversa è derivabile in tutto il suo dominio.

E questo era solo il primo quesito della simulazione.

Pazienza, come ho detto all'inizio tutti sbagliamo (e magari ho commesso qualche errore in questo post e non me ne sono accorto), l'importante è trarne un insegnamento.

P.S.
Domenica è arrivata una nuova versione della soluzione ufficiale del Ministero in cui è stato corretto (in fretta e furia come si vede dall'impaginazione) l'errore sulla derivabilità della funzione inversa. Il resto è rimasto invariato. Sono contento che anche al Ministero si accorgano degli errori e si correggano, come tutti noi mortali. Lo ripeto, non è importante non sbagliare, ma apprendere dagli errori. Questo vale per tutti: per studenti e studentesse, per noi insegnanti, per chi dovrebbe prendere decisioni sul sistema scolastico nazionale.