Un paio di settimane fa abbiamo affrontato in classe una semplice equazione differenziale che veniva da un problema di fisica, ovvero l'andamento della temperatura di una tazzina da caffè la cui temperatura iniziale è $T_0$ e che è immersa in un ambiente a temperatura costante $T_a$. Il testo dell'esercizio diceva di usare la seguente equazione differenziale per descrivere l'andamento nel tempo della temperatura della tazzina:

$$ \frac{{\rm d} T}{{\rm d} t} = c (T_a - T) $$

dove $c$ è una costante. In classe abbiamo risolto l'equazione semplicemente (separazione di variabili) ottenendo un andamento di tipo esponenziale decrescente se $T_0 > T_a$ e crescente se $T_0 <T_a$ con valore asintotico in entrambi i casi $T_a$. Alla domanda di Micossi se tale equazione non fosse troppo semplicistica e non si dovesse invece tener conto del raffreddamento dovuto ad irraggiamento (quindi con termini non lineari ma di quarto grado) ho glissato la domanda con argomentazioni vaghe. Provo qui brevemente a rimediare.

Intanto guardando un po' in rete ho scoperto (mia ignoranza e me ne scuso) che l'equazione scritta sopra è dovuta addirittura a Newton e che in effetti per corpi non troppo più caldi dell'ambiente esterno rappresenta un'ottima approssimazione dell'andamento sperimentale osservabile.

Il raffreddamento della tazzina può avvenire essenzialmente per conduzione (contatto con l'ambiente) o per irraggiamento; trascuriamo la perdita di calore per convezione che credo sia piuttosto complicata. Per conduzione si può ipotizzare il seguente scenario: si considera la conduzione attraverso uno strato di spessore $d$ di aria intorno alla tazzina in cui la superficie esterna dello strato è tenuta a temperatura costante $T_a$ e la parte interna invece è a contatto con la tazzina a temperatura $T$. Se si approssima allora la derivata spaziale della temperatura attraverso lo strato al valore

$$ \frac{(T_a - T)}{d}$$

e si usa la formula del flusso di calore di Fourier, si ottiene la seguente equazione differenziale per la temperatura T della tazzina

$$ \frac{{\rm d} T}{{\rm d} t} = \frac{\lambda S}{m c d} (T_a -T) $$

dove $\lambda$ è la conducibilità termica dell'aria, $S$ la superificie esposta della tazzina, $m$ la sua massa e $c$ il suo calore specifico. Dunque nel caso di conduzione otteniamo proprio l'equazione di Newton che poi abbiamo risolto in classe.

Nel caso dell'irraggiamento si avrà invece un'equazione di questo tipo

$$ \frac{{\rm d} T}{{\rm d} t} = \frac{\sigma S}{m c} (T^4_a -T^4) $$

dove si è fatto uso della legge di Stefan-Boltzmann e $\sigma$ è la costante relativa a tale legge. Ho scritto l'equazione per un corpo nero, la tazzina non è un corpo nero, ma cambia poco da un punto di vista concettuale.

Ora, se si sviluppa il termine di destra con una serie di Taylor intorno al valore $T_a$ e ci si ferma al primo ordine (ve lo ricordate lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione, si?), si dovrebbe ottenere questa equazione

$$ \frac{{\rm d} T}{{\rm d} t} = \frac{4 \sigma S T_a^3}{m c} (T_a -T) $$

che di nuovo è nella forma dell'equazione di Newton vista all'inizio e risolta in classe. E se l'approssimazione in serie di Taylor non si può fare perché la temperatura della tazzina non è prossima alla temperatura dell'ambiente? Allora per separazione delle variabile si ottiene

$$ \int \frac{{\rm d} T}{T_a^4 - T^4} = \frac{\sigma S}{m c} \int{\rm d}t $$

Siamo in grado di risolverla? Si, ma dobbiamo risolvere un integrale di questo tipo

$$ \int \frac{{\rm d}x}{x^4 - 1} $$

(basta raccogliere un $T_a^4$ nell'integrale di sinistra e cambiare variabile in $x = T/T_a$ e si ottiene un integrale di questa forma). Sappiamo farlo in quinta? Si, con il seguente suggerimento. Esprimiamo la funzione da integrare in questo modo con semplici (hehe) passaggi algebrici:

$$ \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{1}{(x^2 - 1)(x^2+1)} = \frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} $$

adesso usiamo lo stesso trucco che abbiamo usato per le funzioni razionali con denominatore di secondo grado a detla positivo, ovvero poniamo

$$ \frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x^2 + 1} $$

facciamo il minimo comune multiplo ed uguagliando i due membri dell'equazione si trovano i valori di $A$, $B$ e $C$. Se non ho fatto errori di calcolo dovrebbero essere $A=1/4$, $B=-1/4$, $C=-1/2$. Dunque l'integrale di partenza si può risolvere in quanto le tre funzioni in cui abbiamo scomposto la funzione di partenza sono tutte e tre integrabili in modo immediato.

$$ \int \frac{{\rm d}x}{x^4 - 1} = \frac{1}{4}\int \frac{{\rm
    d}x}{x-1} - \frac{1}{4}\int \frac{{\rm d}x}{x+1} - \frac{1}{2}\int \frac{{\rm d}x}{x^2+1}$$

da cui

$$ \int \frac{{\rm d}x}{x^4 - 1} = \frac{1}{4}\ln|x-1| -
\frac{1}{4}\ln|x+1| - \frac{1}{2}\arctan(x) + c $$

con questo integrale possiamo quindi risolvere l'equazione differenziale esatta di una tazzina che perde calore per irraggiamento; lascio i dettagli per esercizio. Volontari per fare una simulazione e vedere la differenza con l'andamento newtoniano?

Come al solito se vedete errori od orrori fatemi sapere che modifico.