Carissimi ragazzi e ragazze di 5A, stamane credo di aver fatto un disastro. Mi succede quando sono preso dall’entusiasmo per qualcosa che mi appassiona, entro in classe baldanzoso (come solo un prof di matematica può essere) deciso a spiegarvi qualcosa di meraviglioso. Poi mi volto e mi rendo conto che non si è capito un tubo. Vi chiedo scusa, provo a rimediare in questo mio spazio di imperfezione con qualche riga per cercare di spiegarvi meglio quello che ho cercato di dire stamane.

Si consideri il diagramma spaziotemporale in figura.

My helpful screenshot

Concentriamoci sull’osservatore inerziale 1. L’evento O rappresenta l’emissione di un raggio di luce (linea tratteggiata a $45^\circ$ visto che abbiamo scelto unità di misura con $c=1$) verso destra. L’evento A rappresenta un punto ed un istante in cui il raggio di luce “rimbalza” e torna indietro. L’evento D rappresenta la ricezione del raggio di ritorno da parte dell’osservatore. Siccome per l’osservatore la luce viaggia a velocità uguale sia all’andata che al ritorno, egli stabilisce che l’evento C, punto medio di OD, è simultaneo all’evento A (su questo punto abbiamo discusso a lungo la settimana scorsa e credo siamo tutti in accordo).

Bene. Cosa succede se considero un secondo osservatore inerziale 2? Anche per lui O rappresenta l’invio di un raggio di luce che rimbalza nell’evento A e torna indietro in B. Siccome anche per l’osservatore 2 la luce viaggia a velocità identica sia all’andata che al ritorno (principio di relatività e di invarianza di $c$), egli può stabilire che il punto medio di OB, ovvero M, è simultaneo ad A.

Si vede chiaramente (dimostrate per esercizio) che per l’osservatore 2 il punto C si trova nel futuro di B e di A.

Cosa abbiamo ottenuto? Per l’osservatore 1 gli eventi C ed A sono simultanei, mentre per l’osservatore 2 l’evento A è antecedente all’evento C. Dunque abbiamo riottenuto il risultato discusso in classe per altra via la settimana scorsa: la simultaneità tra eventi dipende dal riferimento inerziale considerato.

Come ultima cosa stamane ho provato a dimostrarvi (ma temo foste già altrove) che gli angoli $\alpha$ e $\beta$ del diagramma sono uguali. È un fatto interessante (vabbè, interessante è una parola forte) in quanto mostra che per l’osservatore 2 l’asse temporale e l’asse spaziale si inclinano dello stesso angolo (che dipende dalla velocità).

In particolare il triangolo OAB è rettangolo in A. Dunque è inscrivibile in una semicirconferenza di diametro OB. Da qui si vede che MO, MB e MA sono raggi della semicirconferenza e quindi sono segmenti congruenti. Allora il triangolo OMA è isoscele. Dunque gli angoli MAO e MOA sono uguli e di conseguenza anche gli angoli COM e CAM. Ma COM è l’angolo $\beta$, mentre CAM è l’angolo $\alpha$. QED.

Si vede quindi che più l’osservatore 2 ha una velocità alta, più questi due angoli tendono a $45^\circ$ con le conseguenze che abbiamo discusso insieme stamane.

Spero di essere stato in queste poche righe leggermente più chiaro di quanto lo sia stato stamane in classe.

Ci vediamo settimana prossima, stessa campanella, stessa lavagna.