Carissimi ragazzi e ragazze di 5A. Di nuovo qui a scrivere perché non sono soddisfatto della lezione di stamane, troppo confusa e con molte imprecisioni. Vi chiedo scusa. Cerco di farmi perdonare provando a riassumere i punti importanti in questo breve post.

Partiamo dalle motivazioni: abbiamo studiato in queste settimane la cinematica relativistica ed abbiamo trovato vari risultati, tra cui

  1. le misure di intervalli temporali dipendono dal riferimento (inerziale);
  2. la velocità di qualunque corpo deve essere inferiore alla velocità della luce (vi ricordo che nel sistema di misura che usiamo noi la velocità della luce è pari a $1$).

Stamattina abbiamo visto che discutendo un po’ su questi due punti si arriva alla conclusione che anche la dinamica relativistica deve essere leggermente modificata. In particolare vi ho fatto vedere (senza dimostrazione però, sto meditando di proporvene una se ci sarà tempo più avanti) che la definizione di quantità di moto va rivista. In relatività la definiamo come

dove $x$ è la coordinato dell’oggetto nel riferimento inerziale dell’osservatore, mentre $\tau$ (stamane in classe ho usato $t’$, ma con gli apici ci si confonde, permettetemi questo cambio di notazione) è il tempo misurato nel riferimento di quiete del corpo (e quindi in moto rispetto all’osservatore) ed $m$ è la sua massa inerziale (come sempre consideriamo un moto unidimensionale, quindi niente vettori). Ho puntualizzato stamane e lo faccio anche qui che per me la massa inerziale $m$ di un corpo non dipende dallo stato di moto del corpo, ma è una grandezza invariante.

La definizione data è quasi uguale a quella classica

solo che la derivata è rispetto al tempo misurato dal corpo e non dall’osservatore. Siccome abbiamo visto nelle lezioni precedenti che

(fenomeno della dilatazione temporale) si ottiene subito

ovvero

con $v$ la velocità del corpo misurata dall’osservatore.

Dalla formula si vede che $p$ dipende dalla velocità in modo diverso dal caso classico $p = mv$. In ogni caso la quantità di moto è una grandezza che dipende dal sistema di riferimento inerziale. Per esempio in quello di quiete della particella, $v = 0$, la quantità di moto è nulla. Con questa definizione si può dimostrare che il principio di conservazione della quantità di moto è salvo anche in relatività.

Stamane abbiamo anche introdotto una seconda grandezza

ovvero, usando il risultato di prima sulla dilatazione temporale,

L’interesse per questa grandezza viene dal fatto che è semplice mostrare algebricamente che $E^2 - p^2$ non dipende dal riferimento inerziale scelto; infatti si vede subito che

e siccome $m$ è la massa inerziale del corpo otteniamo il risultato voluto.

Riassumendo abbiamo due grandezze, $p$ ed $E$, che dipendono dal riferimento inerziale usato, mentre la loro combinazione $E^2 - p^2$ è invariante. Nel riferimento di quiete, dove $p$ è zero, la grandezza $E$ coincide con la massa del corpo.

Infine abbiamo visto che se faccio lo sviluppo in serie di Taylor di $E$ al second’ordine in $v$ per valori vicini allo zero ottengo

riconoscendo nel secondo termine a destra dell’uguale l’usuale energia cinetica della meccanica classica. Sembra quindi plausibile attribuire alla grandezza $E$ il significato di energia del corpo, posto di accettare che un corpo a riposo possegga un’energia non nulla pari a $m$. Senza fare l’approssimazione, possiamo allora dire che l’energia cinetica relativistica di un corpo è pari a $E$ meno la sua energia a riposo, ovvero

Bene, volevo solo riassumere e puntualizzare le cose confuse viste stamane, i risultati che ho messo in questo post sono quello che alla fin fine mi premeva passarvi. Questo sarà il punto di partenza per la prossima lezione che concluderà il nostro viaggio nella relatività ristretta. Altre spiagge (astrofisica e cosmologia) attendono le nostre impronte.

Alla prossima imperfezione.

(Insegnare questa parte del programma mi porta indietro di molti anni. Ho un grande debito nei confronti di Elio Fabri per il suo modo di insegnare la relatività che in parte ha influenzato il mio modo di parlarvene in classe, almeno su questa parte della dinamica. Ovviamente ogni errore è mio.)