Per una volta tanto non parlo di imperfezioni mie. Stamane ho accompagnato una mia classe ad una bella conferenza di filosofia, occasione sicuramente importante promossa dal mio liceo. Iniziative del genere sono importanti e condivido in pieno il loro scopo principale, la contaminazione culturale. Oggi parlava un filosofo, toccando anche temi legati alla letteratura. Fin qui tutto bene, una interessante passeggiata da Parmenide ad Hegel. Il discorso ha però subito, a mio avviso, alcune sbavature quando si è avventurato in un ambito a me più consueto, ovvero la fisica e la matematica. Chiarisco subito che questo post non ha alcun intento polemico, trovo del tutto naturale che un filosofo, anche di grande livello come stamattina, possa cadere su imperfezioni quando tocca argomenti non suoi. Però è importante, quando si ha l’occasione, non lasciar correre, al costo di essere presi per pignoli o per pedanti. Questa parte del mio blog nasce proprio per raccogliere le mie imperfezioni in classe, non ho alcun problema ad ammettere di sbagliare, anche spesso. L’importante, credo, sia imparare qualcosa dagli errori. Insieme. È con questo spirito che vorrei commentare tre degli errori di carattere scientifico che ho ascoltato stamattina alla conferenza, soprattutto perché rivolta a studenti e studentesse di una quinta liceo scientifico che non possono, secondo me, avere dubbi a proposito di alcuni concetti fondanti della cultura scientifica dei nostri giorni (che pedante, prof).

Il big bang è stato fotografato

Per mostrare, legittimamente, l’incredibile vastità dell’ingegno umano, il relatore ha affermato che siamo riusciti a fotografare il big bang, l’attimo della creazione dell’universo. Questa affermazione è chiaramente sbagliata, su più livelli. Subito dopo il big bang l’universo era in condizioni di temperaturà e densità tali da essere totalmente opaco alla radiazione elettromagnetica. Cosa significa? Che qualsiasi onda elettromagnetica (fotone se preferite pensare ai quanti di luce) emessa in quegli istanti è stata riassorbita quasi immediatamente. Nessuna onda elettromagnetica generata durante il big bang può essere sopravvissuta fino ai giorni nostri per essere rilevata (ci sarebbe da aprire una discussione anche sul termine “fotografare”, ma lascio perdere). Io credo che il relatore si riferisse alla radiazione fossile a 3K che oggi osserviamo in tutte le direzioni. Nonostante quello che si legge in giro la radiazione fossile non arriva dal big bang, ma da circa 380000 anni dopo il big bang, la cosiddetta “epoca del disaccoppiamento”. È in quel momento che l’universo è abbastanza freddo (relativamente) per permettere la formazione di atomi non ionizzati, cosa che permette alla materia di diventare in media trasparente alla radiazione ad alta energia. Da quel momento in poi parte della radiazione si disaccoppia dalla materia e viaggia indisturbata nello spazio. A causa dell’espansione dell’universo la temperatura di questa radiazione è scesa fino al valore di circa 3K ai giorni nostri. Dunque abbiamo “fotografato” un momento successivo al big bang, circa 380000 anni dopo. Si potrebbe dire che tale periodo è molto piccolo rispetto ai 13 e passa miliardi di anni di vita dell’universo e che quindi sono solo pignolerie, abbiamo rilevato la radiazione in un momento molto prossimo, relativamente, al big bang. In realtà in queri 380000 anni è successo di tutto. Anzi, le cose più interessanti, che sarebbe stato bello poter vedere, sono avvenute nei primi 3 minuti di vita dell’universo. Quindi questa “fotografia” è straordinaria per molti aspetti (ed è una delle prove principali della sostanziale correttezza del modello standard del big bang), ma non è del big bang, nemmeno lontanamente.

L’esplosione del big bang

Una seconda imperfezione, sempre legata alla cosmologia, è nell’aver usato più volte la parola “esplosione” riferita al big bang. Come nel caso precedente è un errore molto comune, anche nella divulgazione considerata “seria” di questi argomenti. Parlare di esplosione porta normalmente al seguente scenario (sbagliato): prima del big bang c’era un enorme (infinito?) spazio vuoto, spesso si immagina come un nero infinito; ad un certo punto BANG, una grande esplosione in un punto preciso di questo spazio vuoto fa nascere l’universo che da quel momento in poi inizia ad espandersi. Normalmente questo è quello che pensa la gente (anche molti miei studenti) quando si chiede di descrivere cosa sia il big bang sulla base di quel che si sente in giro. La natura del big bang è radicalmente diversa; da un punto di vista matematico non è facilissimo darne conto (da qui forse la notevole confusione che si vede in giro), però su alcuni punti si può cercare di essere meno imperfetti.

  1. Con il big bang non nasce solo la materia e l’energia, nascono anche contemporaneamente lo spazio ed il tempo. Dunque non esiste un prima del big bang in quanto non c’era il tempo. E non esiste uno spazio vuoto dove in un punto si è creato il big bang perché prima del big bang non c’era alcuno spazio.
  2. Per lo stesso motivo l’universo non si sta espandendo in uno spazio vuoto che man mano va a riempire.
  3. Non è stata una esplosione, che è un processo chimico ben preciso che all’epoca non poteva nemmeno sussistere non esistendo la materia come la conosciamo noi oggi.

La verità è che non abbiamo la più pallida idea di cosa sia successo in quell’istante, per la precisione nei primi $10^{-43}$ secondi. Dopo si, abbiamo modelli e teorie che sembrano più o meno confermati da osservazioni indirette, ma in quei primi istanti non abbiamo teorie valide al momento.

Di nuovo mi si potrà accusare di essere pignolo, in fondo la parola “esplosione” può essere usata in modo non letterale, ma per suggerire un evento imponente come quello appunto di una esplosione. E poi il nome stesso big bang (grande botto) si presta a questo tipo di malintesi (fu coniato dai detrattori della teoria alle sue origini come forma di presa in giro). Tutto vero, però continuo a pensare che usare termini impropri in un contesto così delicato sia se non altro pericoloso, si suggeriscono pericolose analogie che portano lontano dai modelli che oggi vengono studiati.

$0^0$ è un numero, non si sa quale

La frase per intero più o meno suonava così: “i matematici sanno oggi che $0^0$ è un numero. Non si sa bene quale, forse 1, ma sicuramente è un numero e magari un giorno, con un qualche algoritmo, verrà trovato”.

Dico subito che la questione sollevata da questa affermazione porta lontano, molto lontano, troppo. Il problema di cosa sia $0^0$ è piuttosto vecchio e, per quel che ne so, ancora dibattuto. Da quel che mi ricordo ci sono due scuole di pensiero (che volgarizzo brutalmente qui di seguito):

  1. $0^0$ è una forma indeterminata. Lo si vede facilmente in quanto, se si vogliono preservare le normali proprietà delle potenze, si ha che è appunto una forma indeterminata in quanto $\frac{0}{0}$ è quel numero che moltiplicato per $0$ deve dare $0$, ovvero tutti. La cosa in realtà può essere detta molto meglio ed in termini decisamente più rigorosi nell’ambito dell’analisi. Ci sono molti buoni motivi di ritenere $0^0$ una forma indeterminata (Cauchy per primo la incluse tra le forme indeterminate nel suo trattato di analisi, che io sappia).
  2. Un conto è parlare di analisi, un conto è parlare di algebra; ci sono molti buoni motivi per definire $0^0 = 1$. In questo modo si salvano molte espressioni e teoremi dell’algebra (e non solo). Un esempio, lo sviluppo in serie del binomio dato da Newton deve definire $0^0 = 1$ per poter funzionare in tutti i casi (esercizio per gli studenti, dimostrare questa affermazione considerando lo sviluppo in serie del binomio $(0+a)^n$).

Che io sappia il dibattito è aperto su questi due casi, ma si tratta di una scelta tra due casi ben precisi, e di conseguenza una specie di convenzione su cosa si debba usare come definizione del simbolo $0^0$. La frase che ho sentito stamane alla conferenza, riportata poco sopra, lascia invece intendere tutt’altro, ovvero che $0^0$ sia qualcosa che non si sia capaci di calcolare al momento, che si sappia che è comunque un numero e che stiamo aspettando un metodo o un algoritmo che ci dica quanto vale esattamente. Come discusso le cose non stanno così: con il simbolo $0^0$ si può indicare o una forma indeterminata oppure, per pura convenzione, il numero $1$. Io penso che la frase (e l’esempio scelto) sia stata un po’ infelice, soprattutto da proporre a studenti e studentesse che tra due mesi hanno un esame di matematica e che non chiedono certo confusione (confusione che io ho probabilmente alimentato con questo mio post). Per chi è interessato può trovare qualche spunto e riferimento qui.

Provo a tirare qualche conclusione. Non ce l’ho minimamente con il relatore di stamane, filosofo che stimo e che ammiro. Che un non specialista faccia esempi imprecisi ci può stare. Inoltre le imperfezioni che ho qui elencato sono cose che ho sentito o letto spesso in giro, fanno parte di molti tipici errori nella corrente divulgazione scientifica (a volte anche nella didattica). E non sono nemmeno tra i più gravi. Io credo però che si debba contrastare una sorta di deriva, molto in voga in questi tempi, verso il pressappoco. Quando si fanno esempi, specialmente in ambiti delicati che richiederebbero una sovrastruttura tecnica che chi ascolta spesso non ha, bisogna stare molto attenti. Il rischio è che con l’idea che sia meglio parlare anche in termini imprecisi piuttosto che star zitti, si finisce con il diluire la conoscenza scientifica (ma non solo) in un brodo di imprecisioni, imperfezioni, di “più o meno è così”, lasciando dietro chi ascolta dubbi nella migliore delle ipotesi, voragini nella peggiore.