Cari studenti e care studentesse di 5C, stamane ho fatto un errore piuttosto grave durante la spiegazione sulle equazioni differenziali. Ho poi rimediato, ma mi è rimasto il dispiacere per una imperfezione evitabile. Non ho scusanti se non un po’ di stanchezza e l’aver voluto seguire la notazione del vostro libro su due piedi invece di usare quella a cui sono abituato. Risultato disastroso. Aveva ragione Hardy quando diceva che superati i 40 anni sarebbe meglio non dedicarsi più alla matematica. Vabbè, cosa fatta capo ha, il risultato è che, a parziale risarcimento, adesso avete tutti un caffè pagato al bar della scuola. Inoltre provo qui in poche righe a riscrivere in modo dettagliato quanto stamane ho fatto in modo così confuso alla lavagna così che vi possa essere utile in seguito. Come sempre impariamo dalle imperfezioni, soprattutto dalle mie (le vostre sono scusabili).

Stiamo parlando di equazioni differenziali lineari del primo ordine, ovvero, con la notazione usata stamane in classe, equazioni del tipo

dove $y=f(x)$ è una funzione della variabile $x$ e $a(x)$ e $b(x)$ sono funzioni reali. Ricordo che risolvere l’equazione differenziale significa trovare la famiglia di funzioni (le curve integrali) che la soddisfa.

Si parte dal caso omogeneo, ovvero $b(x) = 0$; l’equazione allora diventa

e si vede subito che è un’equazione differenziale a variabili separabili la cui soluzione trovata in classe (questa era giusta) è

Immaginiamo che $a(x)$ sia integrabile e dunque scriviamo

dove $A(x) + c$ è la generica primitiva di $a(x)$. Quindi la soluzione dell’omogenea si può scrivere come

Bene, questo per l’equazione omogenea. Per l’equazione non omogenea ho fatto il disastro, rieccovi il ragionamento completo questa volta corretto (spero).

Si parte dalla soluzione dell’omogenea, ma si considera la costante di integrazione $c$ come una funzione di $x$. Ovvero si prende la seguente funzione

e si prova a vedere se è soluzione dell’equazione di partenza. Inserendola e facendo le opportune derivate otteniamo

Ma siccome $A(x)$ è una primitiva di $a(x)$ si ha $A’(x) = a(x)$ per definizione di primitiva. Dunque

Si vede che il termine che contiene $a(x)$ si semplifica e otteniamo

Questa è un’equazione differenziabile alle variabili separabili per la funzione $c$. Con semplice passaggio algebrico diventa

Inegrando rispetto a $x$

Il primo membro è immediato e si ottiene

(come ho detto in classe non metto qui la costante di integrazione potendola sempre riassorbire nella costante di inegrazione dell’integrale nel membro di destra).

Si può a questo punto usare questo risultato e rimetterlo dentro la soluzione $y$ che abbiamo provato all’inizio del ragionamento, ottenendo

Ecco, questa è la soluzione dell’equazione differenziale lineare che abbiamo affrontato (se volete potete dimenticare tutti i passaggi, questa è la soluzione da ricordare). Notate che la soluzione contiene un integrale, quindi una costante di inegrazione: le soluzioni costituiscono una famiglia infinita di funzioni (le curve integrali dell’equazione).

Faccio un esempio. Si voglia risolvere la seguente equazione differenziale

con $k$ e $h$ numeri reali. In questo caso si ha

Da cui la soluzione

ovvero

dove $c$ è la costante di integrazione. Esercizio per casa: dimostrare che questa equazione descrive per esempio il moto di caduta verticale di un corpo soggetto ad una forza di gravità costante e ad una forza di attrito proporzionale alla velocità. Cosa si può dedurre dalla soluzione?

Va bene, vi ho tediati abbastanza. Spero di essere stato un po’ meno impreciso in queste poche righe, mi scuso ancora per l’errore di stamane. Alla prossima imperfezione.