Cari studenti e studentesse di 5C, stamane ho risolto parzialmente un esercizio di geometria analitica nello spazio che mi avete chiesto. Sono qui per concluderlo, scusandomi tantissimo per non averlo finito stamane, ma l’idea (ovviamente banale) per il terzo punto dell’esercizio, quello mancante, mi è venuta in mente solo stasera.

Riassumo il resto dell’esercizio visto che mi serve. Sia dato nello spazio un punto $P(2,-2,0)$ ed il piano $\alpha$ di equazione

Abbiamo trovato stamane la retta $r$ passante per $P$ e perpendicolare al piano che in forma parametrica si scrive (occhio che sul libro c’è un refuso nella soluzione di questo punto)

Abbiamo inoltre trovato (secondo punto) la sfera di raggio $3$ centrata in $P$, la cui equazione non ci serve qui.

Il punto non svolto in classe è il seguente: verificare che l’intersezione tra la sfera ed il piano $\alpha$ è una circonferenza e trovarne il raggio. Se uno mette a sistema l’equazione del piano e della sfera non risolve facilmente il quesito, come abbiamo visto stamane in classe. Mi è venuta in mente allora la seguente soluzione.

  1. Si trova il punto $H$ di intersezione tra la retta $r$ ed il piano $\alpha$. Ve lo lascio come esercizio, ma è molto semplice. La lunghezza di $PH$ anche è facilmente calcolabile ed è fissata. Inoltre il segmento $PH$ è perpendicolare al piano.

  2. Si prenda un punto $Q$ dello spazio e si consideri il triangolo $QPH$. Se $Q$ appartiene al piano, allora il segmento $QH$ ed il segmento $HP$ sono perpendicolari, dunque il triangolo $QPH$ è rettangolo in $H$. Se $Q$ appartiene alla sfera allora, per definizione, $QP$ è lungo $3$. In definitiva i punti $Q$ che appartengono sia al piano che alla circonferenza (la loro intersezione) danno luogo ad un triangolo $QPH$ che è rettangolo in $H$ e che ha l’ipotenusa $QP$ pari a $3$ ed il cateto $PH$ fissato. Dunque $QH$ è fissato ed uguale per ogni possibile scelta di $Q$.

Abbiamo quindi dimostrato che i punti di intersezione tra sfera e piano giacciono tutti su un piano (per costruzione) e sono tutti equidistanti da un punto fisso $H$. Questa è proprio la definizione di una circonferenza su un piano. Il raggio della circonferenza sarà pari a $\overline{QH}$ che per il teorema di pitagora è dato da

ed essendo $\overline{QP}=3$ e $\overline{HP}$ noto (vedi punto 1), si ottiene il raggio.

Immagino che scritto così e senza disegno non si sia capito un tubo, ma ho comunque voluto buttar giù due righe per non lasciare in sospeso l’esercizio e per chiedervi scusa di non averlo finito stamane. Un caro saluto, prof.