Doveva succedere anche con voi, era inevitabile. Credo di aver fatto un errore giovedi nell’ultimo integrale svolto alla lavagna. A dire la verità non sono sicurissimo perché il suono della campanella ha interrotto la lezione e mi sono perso gli ultimi passaggi nella confusione generale, ma credo di aver sbagliato da qualche parte. In ogni caso lo metto in questo piccolo museo degli errori che sto costruendo e merita dunque un post in cui ve lo rifaccio, questa volta in modo corretto; un modo come un altro per chiedere scusa (se solo gli errori di un uomo si limitassero ad un integrale sbagliato).

L’integrale fatto in classe è il seguente

Iniziamo a riorganizzarlo raccogliendo un $x^2$ dentro il cubo e portandolo fuori

A questo punto facciamo la sostituzione (che vi ho proposto in classe)

da cui, per il differenziale,

che riscriviamo come

Sostituendo l’integrale diventa

Ricordando che $1-\cos^2 t = \sin^2 t$ si ottiene

e semplificando

Questo integrale è in una forma elementare per funzione composta del tipo

infatti si può riscrivere come

Integrando otteniamo dunque

e quindi

Tornando indietro alla variabile $x$ si ottiene

e con un semplice passaggio algebrico otteniamo infine il risultato

Tada’, come dico sempre in classe. Buon fine settimana, ragazzi e ragazze, ci vediamo alla prossima imperfezione.