Caro Davide

come promesso ti scrivo poche righe sul problema di cui ti parlavo qualche giorno fa. È un quesito classico con una soluzione anche abbastanza semplice, ma provandolo in alcune classi quarte e quinte ho avuto diverse sorprese. In particolare sembra che la risposta data senza pensare o fare alcun tipo di ragionamento formale porti regolarmente ad una soluzione intuitiva sbagliata. Il problema è il seguente: una scala di lunghezza fissata $L$ appoggiata ad una parete con un angolo iniziale $\theta$ con il pavimento (non è importante il valore iniziale dell’angolo) comincia a scivolare, mantenendo però i punti di contatto con la parete e ovviamente con il pavimento; che traiettoria segue il punto medio $M$ della scala?

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La prima risposta intuitiva di molti ragazzi e ragazze è “un ramo di iperbole”, tipicamente accompagnata da un gesto della mano che mostra chiaramente una traiettoria con concavità rivolta verso destra (nella figura qui sopra). Qualcuno azzarda un arco di parabola, qualcuno una retta (o meglio un segmento). Tutte queste ipotesi sono sbagliate. Prima di dare la dimostrazione formale, è possibile fare un piccolo ragionamento. Immagina la scala in tre posizioni particolari, ovvero verticale ($\theta = 90^\circ$), orizzontale ($\theta = 0^\circ$) e inclinata con $\theta=45^\circ$, come in figura:

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È facile verificare (riesci?) che in tutti e tre i casi il punto medio $M$ della scala si trova ad una distanza pari a $L/2$ dall’origine degli assi (il punto di incontro tra pavimento e parete verticale). Questo esclude a priori che la traiettoria possa essere un segmento o un arco di iperbole con concavità rivolta verso destra e sicuramente suggerisce la risposta corretta: la traiettoria è un arco di circonferenza centrata nel punto di incontro tra parete verticale e pavimento. Per vederlo analiticamente basta considerare le coordinate dei punti di contatto della scala con la parete e con il pavimento che sono, rispettivamente

Dunque le coordinate del punto $M$ sono

Elevando queste coordinate al quadrato e sommandole si ottiene

che per note proprietà goniometriche fornisce

Si vede quindi che le coordinate di $M$ soddisfano l’equazione di una circonferenza centrata nell’origine di raggio $\frac{L}{2}$.

Ti lascio come esercizio la generalizzazione di questo problema: se anziché il punto $M$ si cerca la traiettoria di un qualsiasi altro punto della scala, questa sarà un arco di ellisse.

Buona dimostrazione.