Cara Bianca

l’ultima volta che ci siamo visti mi hai chiesto del problema dell’orologio, cerco di risponderti brevemente qui1. È un problema classico che propongo da anni nelle classi dove faccio supplenza, con risultati abbastanza minimali (ovvero nessuno di solito mi sa dare la soluzione). Non è un problema difficile, anzi, ma richiede di pensare in modo diverso rispetto alle abitudini di uno studente o una studentessa della nostra scuola. Il problema ha una formulazione molto semplice: a mezzogiorno in punto la lancetta dei minuti e quella delle ore di un orologio sono sovrapposte (eclisse); in quali altri momenti (ora e minuti) si ha un’eclisse di lancette?

La maggior parte dei ragazzi e delle ragazze senza pensarci su risponde qualcosa del tipo “All’una e cinque”, senza pensare che quando la lancetta dei minuti è sul cinque quella delle ore non puó essere esattamente sul cinque (ovvero l’una), ma deve trovarsi un po’ oltre in quanto sono passati cinque minuti dal momento in cui c’era.

Esistono molti modi di rispondere, te ne propongo tre.

Per simmetria

Dimostriamo per simmetria che le eclissi sono distanziate dal medesimo intervallo di tempo. Si prenda per esempio la prima eclisse dopo mezzogiorno, si troverá poco dopo l’una e cinque. Se ora si ruota l’intero orologio in modo da far sì che le due lancette sovrapposte risultino verticali, si torna ad una situazione equivalente a quella che si aveva a mezzogiorno. Dunque la successiva eclisse, la seconda eclisse dopo mezzogiorno, avverà dopo un’intervallo uguale a quello che separa la prima eclisse da mezzogiorno, e così via. Siccome la prima eclisse avviene dopo più di un’ora, e dopo meno di due, le eclissi devono essere 11 (non possono essere 12 perché se no se ne avrebbe una ogni ora, e abbiamo visto che questo non succede) nell’arco delle 12 ore (un giro completo). Dunque basta dividere l’angolo giro in 11 parti per sapere l’angolo che le lancette percorrono tra un’eclisse e la successiva

La lancetta delle ore si muove ad una velocità angolare pari a

Dunque le eclissi sono distanziate da un tempo dato da

Inseguimento

Possiamo scrivere le leggi orarie del moto angolare delle due lancette ed impostare il problema come un classico problema di inseguimento. La lancetta delle ore ha una legge oraria data da

e quella dei minuti, analogamente, da

dove gli angoli sono presi rispetto all’asse passante per mezzogiorno. Esprimendo le velocità angolari in rad/ora si ha

e

Una eclisse avviene quando la differenza tra $\theta_o$ e $\theta_m$ è un multiplo di $2\pi$, ovvero

da cui

e quindi

Si ottiene infine, raccogliendo e semplificando

dove il risultato è espresso in ore. Si ottiene dunque lo stesso risultato di prima (da notare che quando $n=11$ si ha $t=12$, ovvero dopo 11 eclissi sono passate esattamente 12 ore, le lancette sono tornate entrambe nella posizione verticale verso l’alto).

Numeri complessi

Una variante del primo metodo consiste nell’accorgersi che le eclissi, essendo 11, costituiscono intorno al centro dell’orologio i vertici di un poligono regolare di 11 lati. Si può usare allora la nota proprietà dei numeri complessi relativa alle radici ennesime di un numero complesso. Ti lascio da dimostrare che effettivamente le eclissi si posizionano come le radici undicesime di $i$ (unità immaginaria).

Spero di sentire presto tue notizie. Saluti, prof.

  1. Ringrazio il collega Sangoi per alcuni preziosi suggerimenti nel ripensare al problema.