Cara R, nella tua ultima lettera mi chiedi se posso tornare brevemente su alcune questioni legate all’elettromagnetismo viste in classe, in particolare sulle prime due equazioni di Maxwell, quelle sui flussi dei campi. In particolare mi chiedi quali sono i punti importanti e fondanti, ripuliti da tutti i dettagli tecnici, di tali equazioni. L’argomento che mi chiedi è vasto ed importante ed è difficile riuscire a farlo stare nel poco spazio concesso da una lettera. Ci provo, come sempre in modo incompleto e probabilmente impreciso, senza pretendere di aiutare se non donandoti un po’ del mio tempo e quel poco che conosco.

Partirei prima di tutto dai campi elettrico e magnetico. Se ricordi abbiamo introdotto il concetto di campo per evitare di parlare di interazione a distanza tra corpi carichi. In breve la situazione è la seguente: anziché dire che una carica elettrica $A$ in un certo punto dello spazio esercita una forza a distanza su un’altra carica elettrica $B$ posta in un altro punto dello spazio possiamo pensare che $A$ generi un campo elettrico ed un campo magnetico localmente. Questi campi elettrici e magnetici si propagano poi nello spazio secondo leggi ben precise e quando arrivano nella regione che contiene $B$ esercitano su tale carica un’azione. Dunque ci sono due aspetti:

  1. le cariche elettriche generano dei campi elettrici e magnetici;
  2. i campi elettrici e magnetici esercitano un’azione sulle cariche elettriche presenti nello spazio.

Partiamo dal secondo punto; come ricorderai possiamo dare l’espressione della forza esercitata su una carica di prova $q$ posta in un punto dello spazio dove sono presenti un campo elettrico ${\bf E}$ ed uno magnetico ${\bf B}$

(ti ricordo che i campi sono vettori). L’espressione data per la forza può essere usata in modo operativo per definire, se vuoi, i campi elettrici e magnetici. Se metto una piccola carica $q$ ferma in un punto dello spazio, il termine con il campo magnetico (forza di Lorentz) si annulla e quindi la forza sarà solo eletrica. Misurando quindi l’accelerazione di $q$ posso determinare (definire) il campo elettrico. Una volta trovato ${\bf E}$ posso poi procedere con una carica $q$ in moto per determinare operativamente il campo ${\bf B}$ (come abbiamo visto in classe). Dunque i campi ${\bf E}$ e ${\bf B}$ non sono particolarmente misteriosi, sono solo dei nuovi enti fisici che agiscono con una forza ben determinata sulle cariche elettriche, sia ferme che in moto.

Questo per quanto riguarda l’azione dei campi sulle cariche, rimane però il problema di determinare come vengono generati (e poi in seconda istanza come si propagano) i campi elettrici e magnetici. Le equazioni che ci dicono come vengono generati ${\bf E}$ e ${\bf B}$ sono appunto le quattro equazioni di Maxwell. Come abbiamo visto in classe sono abbastanza complicate nella loro forma generale, ma se ci accontentiamo di capirne il significato concettuale e di poter studiare qualche caso particolare allora le equazioni sono senza dubbio di semplice scrittura. Analizzo in questa lettera le prime due che mi hai chiesto, le altre (quelle sulla circuitazione) le tratterò eventualmente in un’altra lettera.

Entrambe le equazioni che voglio scrivere e commentare fanno uso del concetto di flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie, quindi fammi riprendere in modo molto breve il concetto.

Dato un campo vettoriale uniforme ${\bf V}$ definito in una certa regione dello spazio (uniforme ricorderai significa che in ogni punto il campo è lo stesso come modulo, direzione e verso) e considerata una superficie piana di area $S$ perpendicolare alla direzione del campo, definiamo il flusso del campo attraverso la superficie come

(quando scrivo il vettore non in grassetto intendo indicare il suo modulo). Molto semplice. Se la superficie piana è parallela al campo il flusso invece viene definito come nullo. E nei casi intermedi? Sia $\theta$ l’angolo che la normale alla superficie fa con la direzione positiva del campo, allora il flusso è dato da

Come vedi con $\theta = 0$ e $\theta = 90^\circ$ si riottengono i due casi particolari. C’è un piccolo dettaglio: devo decidere un’orientamento della superficie, ovvero devo decidere in quale dei due semispazi definiti dalla superficie si trova il suo vettore normale. Una volta stabilito questo il calcolo del flusso di un campo uniforme attraverso una superficie piana è molto semplice.

Cosa rappresenta il flusso di un campo vettoriale? Mi dice, grosso modo, come il campo “taglia” la superficie; un flusso positivo significa che il campo taglia la superficie nel verso concorde alla sua normale, un flusso negativo invece che il campo taglia la superficie nel verso opposto. Un flusso zero è associabile ad un campo che non taglia la superficie, ovvero ne è tangente. Ma cosa significa taglia? Immagina di immergere una bottiglia nel flusso di acqua corrente di un fiume e considera la superficie piana del foro di entrata della bottiglia. Se tengo la bottiglia in modo che tale foro sia perpendicolare al flusso dell’acqua, la bottiglia si riempie in fretta. Se tengo la bottiglia in modo che il foro di entrata sia parallelo all’acqua la bottiglia non si riempie affatto (più o meno). Inoltre più il foro della bottiglia è grande, più la bottiglia si riempie velocemente. Il paragone non è del tutto calzante, ma può darti un’idea visiva di cosa sia il flusso di un campo (per inciso non è un caso che la terminologia dei campi sia piena di riferimenti a casi di idrodinamica, come flusso, sorgente etc.).

E se la superficie non è piana? Pensa ad esempio alla superficie di un cubo. In questo caso il flusso attraverso la superficie del cubo è definito come la somma dei sei flussi attraverso le sue sei facce (orientate tutte nello stesso modo, ovvero o tutte uscenti o tutte entranti). E se la superficie non è piana e non è riconducibile all’unione di un certo numero di facce piane, come nel caso del cubo? Allora la cosa diventa un po’ complicata. Ricorderai che a lezione abbiamo visto come sia sempre possibile dividere una superficie curva nell’unione di tante piccole facce piane che la approssimano, un po’ come le facce di un pallone da calcio approssimano una sfera. Con un processo di limite si può definire anche in questo caso il concetto di flusso, ma come abbiamo visto la cosa normalmente è molto complicata e non l’abbiamo trattata in classe.

E se il campo non è uniforme? Il problema è simile al precedente, una definizione rigorosa e formale diventa complicata, ma intuitivamente posso dividere la superficie in tante piccole facce piane così piccole che su ciascuna io possa considerare il campo come approssimativamente uniforme. Calcolo tutti i flussi su tutte le facce e poi sommo (è solo in linea teorica, nella pratica non si fa se non in casi semplici come quello del cubo a sei facce di cui abbiamo parlato prima).

Bene, torniamo a Maxwell. Le prime due equazioni si possono scrivere così

dove $S$ è una qualunte superficie chiusa orientata verso l’esterno, $Q$ è la carica elettrica totale contenuta dentro la superficie $S$ ed $\epsilon_0$ è una costante di natura (poco interessante).

Scritte così sembrano semplici, vediamo il loro significato.

La prima (normalmente conosciuta come teorema di Gauss per il campo elettrico) dice che se una superificie chiusa $S$ contiene una carica, allora il flusso del campo che l’attraversa è proporzionale alla carica totale. Attenzione che la carica $Q$ è quella totale contenuta in $S$; dunque se in $S$ ci sono un certo numero di cariche elettriche di entrambi i segni può benissimo essere che la loro somma sia zero e quindi anche il flusso di ${\bf E}$. Un flusso nullo del campo elettrico non mi diche che non ci sono cariche dentro $S$, ma solo che la somma di tutte le cariche è nulla. Dunque le cariche positive generano un flusso uscente, quelle negative un flusso entrante.

Questa equazione è importante per il discorso che stiamo facendo perché effettivamente crea un legame tra le cariche contenute nello spazio ed il campo elettrico che esse generano. Purtroppo nel caso generale questa equazione non basta a determinare ${\bf E}$ conoscendo le cariche nello spazio, ma in alcuni casi particolari si. Per esempio in classe abbiamo visto il caso di una carica isolata $Q$; immagina una superficie sferica di raggio $r$ con $Q$ al centro e calcola il flusso del campo elettrico uscente. Per motivi di simmetria il campo dovrà essere perpendicolare alla superficie e per quanto abbiamo visto primo questo significa

dove $E$ è il modulo del campo elettrico. Mettendo questa espressione del flusso nell’equazione di Maxwell si ottiene

Questo è il campo elettrico generato dalla carica $Q$ a distanza $r$ (ricordo, questo è il modulo, per simmetria il campo sarà come vettore radiale). Questo è un caso particolare in cui l’equazione di Maxwell fa quello per cui è stata scritta: determinare il campo elettrico sapendo la distribuzione nello spazio delle cariche. È un caso molto semplice, ma intanto funziona (funziona per via dell’elevata simmetria radiale e per l’assenza di movimento della carica $Q$, per questo non c’è stato bisogno delle altre equazioni di Maxwell in questo caso).

Ricorderai poi che se metto una carica $q$ ferma nel campo elettrico questa subisce una forza pari a $q {\bf E}$, da cui otteniamo nel nostro caso semplice

che è l’espressione della forza di Coulomb tra due cariche poste a distanza $r$. Siamo tornati al punto di partenza: invece di parlare di forza a distanza (Coulomb) possiamo dire che la carica $Q$ genera nei punti intorno a se (per esempio a distanza $r$) un campo elettrico che possiamo determinare grazie alle equazioni di Maxwell. È il campo elettrico generato da $Q$ che poi agisce con una forza su una carica $q$ che metto in quel punto. Dunque il campo media le forze elettriche.

La seconda equazione di Maxwell è per il campo magnetico e dice che il flusso di tale campo è sempre nullo attraverso qualunque superficie orientata verso l’esterno. Il fatto che il flusso sia sempre nullo significa che o il campo magnetico è parallelo in ogni punto alla superficie o se in qualche punto il campo magnetico ha una componente entrante, in altri punti avrà una componente uscente in modo che la somma di tutti i contributi al flusso faccia sempre zero. In classe abbiamo visto che questa equazione equivale a chiedere che non esista un monopolo magnetico, ovvero un singolo polo nord o un singolo polo sud magnetico, ma si trovano sempre a coppie (avevamo visto questo in termini di linee di campo, ma lo spazio di questa lettera sta finendo). La cosa importante da notare è che da questa equazione è impossibile determinare il campo ${\bf B}$ sapendo come sono messe (e come si muovono) le cariche nello spazio, ci vogliono le altre equazioni (quelle con la circuitazione dei campi).

Concludo. L’elettromagnetismo, per come lo abbiamo introdotto, ha due attori, ovvero le cariche elettriche (i corpi materiali) ed i campi. Abbiamo bisogno quindi di due tipi diversi di equazioni:

  1. equazioni che mi dicano come i campi agiscono sulla materia (le cariche);
  2. equazioni che mi dicano come la materia (le cariche) genera i campi.

Le seconde sono le quattro equazioni di Maxwell, la prima è l’equazione della forza che ho scritto all’inizio di questa nostra chiaccherata. Non è affascinante questo eterno balletto tra campi e materia? La materia crea i campi (equazioni di Maxwell), i campi agiscono sulla materia (equazione della forza).

Direi che ho straparlato abbastanza, ci tenevo a scriverti un riassunto di quanto abbiamo dettagliatamente visto in classe perché tu possa prenderne spunto per ulteriori domande. Nel caso sai dove trovarmi.

RG

P.S.

È tardi, Anna Wislawa continua a svegliarsi ed ho molte ore di sonno arretrato. Ti sarò grato se mi segnalerai qualsiasi errore la mia ignoranza o la mia stanchezza mi abbiano fatto commettere in queste righe il cui scopo, ripeto, non è didattico (ci sono sempre i libri) ma di vicinanza. Se hai bisogno, ci sono.