Cari ragazzi e care ragazze di quinta, scusate se ho usato un piccolo sotterfugio, ma se avessi intitolato queste mie poche righe “Lettera sulla numerabilità degli irrazionali” non avrei ottenuto l’attenzione di molti di voi. Invece vorrei delineare una dimostrazione del fatto che gli irrazionali siano più che numerabili, dimostrazione che per mancanza di tempo non sono riuscito a proporvi in classe. L’idea è grosso modo la seguente

  1. Dimostriamo che l’unione di due insiemi infiniti numerabili è numerabile; siano infatti $A$ e $B$ due insiemi numerabili, quindi in corrispondenza biunivoca con $\mathbb{N}$. Ma sappiamo che anche i numeri pari $\cal{P}$ sono numerabili (tramite la corrispondenza $2n$ con $\mathbb{N}$) ed anche i numeri dispari $\cal{D}$ sono numerabili (tramite la corrispondenza $2n+1$ con $\mathbb{N}$). Dunque possiamo mettere in corrispondenza biunivoca $A$ con $\cal{P}$ e $B$ con $\cal{D}$. Quindi l’unione $A\cup B$ è in corrispondenza biunivoca con $\cal{P}\cup\cal{D}$, ma quest’ultima unione corrisponde a $\mathbb{N}$ (l’unione di pari e dispari è tutto l’insieme dei naturali). Abbiamo quindi dimostrato che l’unione di due numerabili $A$ e $B$ è numerabile.
  2. Sappiamo che i razionali $\mathbb{Q}$ sono numerabili (dimostrazione di Cantor).
  3. Ipotizziamo per assurdo che gli irrazionali siano numerabili. Ma allora l’unione di $\mathbb{Q}$ con gli irrazionali sarebbe l’unione di due insiemi numerabili e quindi, per quanto visto prima nel punto 1, sarebbe numerabile. Ma l’unione di irrazionali e razionali è l’insieme dei reali $\mathbb{R}$ che non è numerabile (dimostrazione diagonale di Cantor). Assurdo. Dunque la premessa che gli irrazionali siano numerabili è sbagliata.

Ecco, questo volevo dirvi. Questo piccolo risultato l’ho sempre trovato poeticamente interessante, gli irrazionali che a prima vista sembrano dei casi eccezionali all’interno di $\mathbb{R}$ sono in realtà molti di più di quanto si immagini. Il discorso potrebbe ulteriormente articolarsi, ma porterebbe lontano ed ho già abusato abbastanza della vostra pazienza.

Un caro saluto, prof.

P.S.

Confido sul fatto che siate andati, come me, a votare, che lo abbiate fatto con convinzione, che abbiate risposto secondo vostra coscienza, qualunque cosa abbiate votato. Questo basta, la matematica ci insegna che a domande precise si risponde sempre e comunque con risposte precise, il resto lo lasciamo al mondo degli uomini che poco ci interessa. Un abbraccio.