Miei cari Francesco ed Anna Wislawa, vi scrivo nell’ora più breve della notte, da un’esilio che rinnovo ogni giorno. Ora che dormite i vostri sogni di bambini ho deciso di scrivervi di un piccolo pezzetto di universo di cui si parla tanto in questi giorni. La mia non è una lettera di spiegazioni precise, una lezione formale ed esatta, è solo un invito alla curiosità. Non sono nemmeno sicuro che quanto io scrivo in queste mie righe sia corretto, probabilmente un esperto troverà errori ed orrori (ho chiesto ad un mio vecchio compagno di università di dare un’occhiata, spero mi faccia sapere presto). Ma il senso di questa mia lettera non è la ricerca del vero, ma la ricerca. Quando da grandi forse la leggerete io spero possiate cogliere il motivo del mio scrivere (e delle mie frequenti insonnie), la necessità di provare a capire il meraviglioso universo che ci contiene. Se poi i calcoli e le idee che qui accenno non saranno esatte poco importa, troverete magari nei miei errori lo stimolo a cercare meglio, a capire meglio, a trovare quel che io non sono riuscito. Nel tentativo di rispondere alle mie curiosità mi sono però divertito, ho rimosso (molto poco) quello strato di ruggine che gli anni hanno regalato alla mia mente ed ho scoperto, ancora una volta, la bellezza del cercare risposte con i pochi mezzi che ho.

Pochi giorni fa abbiamo letto sui giornali la scoperta di un elevato numero di pianeti rocciosi (ben sette) di dimensioni simili alla nostra terra orbitanti a $40$ anni luce da noi intorno alla stella Trappist-1. Che notizia meravigliosa, una ulteriore conferma che la formazione di pianeti è più la regola che non l’eccezione. I giornali ne hanno parlato molto, usando titoli e parafrasi abbastanza azzardate, parlando spesso di “pianeti come la terra”, o addirittura “gemelli”. In realtà le cose non stanno del tutto così, ma magari ne parliamo un’altra volta. In questa lettera vorrei proporvi una curiosità che mi è venuta immediatamente dopo aver letto la notizia, curiosità che mi ha spinto a cercare, calcolare, provare a capire.

Il sistema Trappist-1 è molto più piccolo, in termini di dimensioni, rispetto al nostro. Per intenderci i sette pianeti vanno da una distanza minima di $0.011$ AU ad una massima di $0.06$ AU, dove l’unità astronomica AU corrisponde al raggio (medio) dell’orbita terrestre, circa 150 milioni di km (approssimo le orbite a circonferenze, per il senso del ragionamento che voglio fare poco importa se in realtà non sono esattamente circolari). Il nostro sistema solare è decisamente più grande; limitandoci ai soli pianeti rocciosi (come quelli di Trappist-1), andiamo da una distanza minima di $0.4$ AU (Mercurio) ad una massima di $1.6$ AU (Marte). Il sistema di Trappist-1 è grande approssimativamente un trentesimo del nostro, se li rappresentassimo sovrapposti starebbe tutto ampiamente dentro l’orbita di Mercurio. Ecco, quando ho letto queste informazioni non ho potuto fare a meno di chiedermi il perché, una semplice domanda da persona curiosa. Ecco quello che ho scoperto.

La prima ipotesi a cui ho pensato riguarda la massa molto più piccola di Trappist-1 rispetto al Sole, circa 0.08 masse solari. Trappist-1 è dunque una nana rossa più piccola rispetto al Sole, il suo campo gravitazionale è meno intenso (a parità di distanza) e quindi i suoi pianeti tenderanno ad assestarsi su un’orbita più piccola. Può essere questa la spiegazione delle dimensioni ridotte del sistema di Trappist-1? Proviamo a fare due calcoli usando un concetto che ho scoperto essere molto usato in astrofisica, il raggio di Hill. L’idea è semplice, a che distanza $r$ da un corpo di massa $m$ il suo campo gravitazionale diventa trascurabile? In linea di principio la distanza è infinita (la famosa legge dell’inverso del quadrato della distanza di Newton), ma se il corpo non è isolato la sua influenza cessa dove inizia l’influenza di un corpo vicino. Siano dunque tre corpi di masse $M$, $m$ e $\mu$ allineati come in figura.

My helpful screenshot

Una prima stima di quanto stiamo cercando è data dal seguente ragionamento: se il corpo $\mu$ è sotto l’influenza del campo gravitazione di $m$ e basta, la sua velocità angolare deve soddisfare

Tale relazione si ottiene ponendo uguali la forza gravitazionale di $m$ su $\mu$ e l’accelerazione centripeta necessaria a mantenere un orbita di raggio $r$

Se viceversa è sotto l’influenza di $M$ e basta si deve avere, analogamente,

Se ipotizziamo $r \ll R$ possiamo approssimare la precedente espressione

Dunque il campo gravitazionale di $m$ è predominante quando

Un calcolo più preciso, che per ora vi risparmio, legato alla determinazione dei cosiddetti punti di Lagrange porta ad un risultato molto simile

che non è altro che una versione approssimata del cosiddetto raggio di Hill per la massa $m$. Riassumendo, in presenza di una massa $M$ a distanza $R$ da una massa $m$, il campo gravitazionale di quest’ultima diventa trascurabile quando $r$ supera il suo raggio di Hill. La relazione trovata (approssimata o meno) mostra come tale raggio dipende dalla radice cubica della massa.

Immaginiamo adesso che $m$ sia il Sole ed $M$ sia la massa della galassia (la Via Lattea) ipotizzando che tutta la massa sia concentrata nel centro galattico; $R$ rappresenta allora la distanza del Sole dal centro della galassia. Considerare tutta la massa della galassia concentrata nel suo centro rappresenta solo un’approssimazione, ma siamo interessati ad un ragionamento sugli ordini di grandezza, non ad un calcolo preciso (esercizio per casa, se la galassia fosse sferica l’approssimazione qui proposta sarebbe esatta; perché?).

Inserendo i valori approssimati

si ottiene un raggio di Hill di poco più di un anno luce. Sappiamo che questa è più o meno la distanza dal Sole della nube di Oort, considerata l’estrema periferia del sistema solare. Nonostante quindi l’approssimazione del calcolo, il risultato ci fornisce il giusto ordine di grandezza. Cosa ci dice tutto questo su Trappist-1? Il rapporto del raggio di Hill per Trappist-1 con il raggio di Hill del Sole è pari al rapporto delle loro masse alla un terzo; il risultato è poco meno di un mezzo, un ordine di grandezza sbagliato rispetto a quanto abbiamo visto all’inizio di questa lettera. La conclusione è che la dimensione ridotta del sistema di Trappist-1 non può essere imputata solamente ad effetti gravitazionali diretti (il raggio di Hill).

A questo punto, carissimi, mi sono appassionato al problema ed ho studiato un po’ meglio la letteratura, arrivando ad un secondo effetto che potrebbe concorrere alla dimensione ridotta di Trappist-1. Il discorso di massima è più o meno questo: durante le fasi iniziali di un sistema solare la nube in rotazione intorno alla stella da cui si formeranno i pianeti ha un profilo di temperatura (la dipendenza della temperatura dalla distanza dal centro) che caratterizza in modo fondamentale la formazione planetaria. In particolare per la formazione di pianeti rocciosi (come quelli di Trappist-1) la temperatura deve essere superiore ad una certa soglia, la cosiddetta snow line o frost line (il perché è un argomento interessante, ma esula dallo scopo di questa lettera).

La snow line (linea di congelamento) è relativa alla nube stellare da cui si sviluppa un sistema stellare; oltre tale linea la temperatura è abbastanza bassa da consentire la formazione di ghiaccio. Si ritiene che i pianeti rocciosi si formino in una zona all’interno della snow line, mentre all’esterno si formano i giganti gassosi. Per il sistema solare si trova tra Marte e Giove. Per calcolarla bisogna tenere conto di due fenomeni distinti che causano la curva di temperature della nube: l’accrescimento di materia verso la stella (per il teorema del viriale parte dell’energia gravitazionale persa finisce in energia termica) e l’irraggiamento della stella centrale.

Il primo fattore è abbastanza complesso, mi riservo di parlarvene in una futura lettera; trattiamo quindi il secondo fenomeno. Per la legge di Stefan-Boltzmanni per i corpi neri

dove $L$ è la luminosità (energia emessa per unità di tempo), $A$ è la superficie della stella, $\sigma$ la costante di Stefan-Boltzmann e $T$ la temperatura superificiale.

Tale energia emessa si distribuisce in modo isotropo, quindi a distanza $d$ darà un flusso di energia per unità di tempo pari a

dove $R$ è il raggio della stella. Un corpo (pianeta, granello di polvere etc) approssimabile come una sfera di raggio $r$ riceve dunque nell’unità di tempo l’energia pari a

Ipotizziamo che tutta l’energia ricevuta sia assorbita, cosa che non è del tutto vera (vi è un fattore di assorbimento che dipende dal materiale; come sempre non ci interessano i dettagli, ma gli andamenti quantitativi). All’equilibrio termico il corpo raggiunge una temperatura stabile $T_c$ e riemette l’energia pari a

Uguagliando l’energia emessa e quella ricevuta si ottiene l’espressione per $T_c$, ovvero

Da qui si vede che il profilo della temperatura decresce con la radice quadrata della distanza e dipende principalmente dalla temperatura superficiale della stella e dalla radice quadrata del suo raggio. Se ora invertiamo tale relazione ed esplicitamo $d$ otteniamo

La frost line si trova ad una temperatura $T_c$ ben determinata e dalla relazione ora trovata possiamo determinare la distanza di tale linea dalla stella. Usando i dati del Sole si ottiene una frost line a circa $2 AU$, una distanza compresa tra l’orbita di Marte e quella di Giove. Il risultato è sensato, all’interno della frost line si trovano i quattro pianeti rocciosi del sistema solare, all’esterno i pianeti gassosi.

Come nel caso del raggio di Hill, avendo Trappist-1 un raggio più piccolo del sole ed una temperatura superficiale minore, la posizione della frost line è più interna rispetto al sole. Di quanto? Il rapporto tra la frost line del sole e quella di Trappist-1 dipende dal rapporto del quadrato delle temperature e dal rapporto dei raggi. Inserendo i valori che si trovano disponibili in letteratura si trova che la frost line di Trappist-1 si trova ad una distanza di circa 40 volte più bassa rispetto al sole secondo la semplice formula ricavata sopra. Nonostante l’approssimazione del nostro ragionamento e le notevoli semplificazioni, prima tra tutte l’aver trascurato l’accrescimento di massa durante la formazione iniziale ed aver preso solo la temperatura per irraggiamento, l’ordine di grandezza è quello che ci si aspetta.

Provo a riassumere. Per spiegare le dimensioni ridotte del sistema di Trappist-1 ho analizzato due possibili strade; una minor intensità del campo gravitazionale (raggio di Hill) ed una frost line più interna dovuta alla minor temperatura e dimensione della stella. Entrambi i fenomeni vanno nella stessa direzione, ma il secondo sembra giustificare meglio la ridotta dimensione del sistema Trappist-1. Il ragionamento seguito probabilmente non spiega del tutto (o forse per nulla) le ridotte dimensioni del sistema, vi sono sicuramente molte altre questioni legate all’evoluzione del sistema ed alla sua nascita dalla nube protoplanetaria. Da quel che capisco oggi si considerano le dimensioni ridotte soprattutto a causa di dinamiche migratorie, ovvero lo spostamento dei pianeti dalla loro orbita iniziale ad un’orbita diversa (migrazioni importanti sono avvenute anche nel nostro sistema solare). Il tutto è chiaramente molto complesso ed è fuori dalla portata di questa mia lettera (e dalla mia portata probabilmente), magari ne riparleremo in futuro. Una cosa però è certa, dal calcolo sulla frost line si vede come sia plausibile avere pianeti con temperature “terrestri” su orbite molto ravvicinate alla stella centrale, argomento importante non tanto per la struttura del sistema stellare, ma per la possibile presenza di condizioni di abitabilità dei pianeti. Argomento vastissimo che in queste poche righe non ho affrontato.

Cari Francesco ed Anna Wislawa, è ormai tardi e questa lettera è diventata molto più lunga di quello che avrei voluto. Mi fermo qui anche se ci sarebbero molte cose interessanti da dire su Trappist-1 ed il suo seguito di pianeti. Magari in un’altra occasione vi parlerò ancora di questo piccolo pezzetto di universo pieno di opportunità di stupore e meraviglia; nulla in confronto a voi, cari figli miei.

Un saluto, vostro padre.

P.S. Mentre vi scrivevo questa lettera sono rientrato in contatto con il prof.Paolo Paolicchi dell’Università di Pisa. Molti anni fa è stato mio professore di Astrofisica e per le sue doti umane e le sue competenze scientifiche ha avuto un ruolo importante nella mia formazione. Mi ha fatto molto piacere ricevere un suo commento sulle idee espresse in questa lettera e grazie ai suoi suggerimenti ho potuto rendere queste righe un po’ meno inesatte di quanto fossero in partenza. Chiaramente ogni errore o imprecisione rimane mia completa responsibilità.