Cari studenti e care studentesse, ieri, finito il nostro primo compito in classe, vi ho visto piuttosto sconfortati e sconfortate, avete lasciato l’aula con l’aria di chi ha appena perso un’occasione. Vorrei trovare le parole per riportare un po’ di serenità, dovrebbe esservi ormai chiaro, anche se ci conosciamo da poco, che le verifiche per me hanno un peso importante, ma limitato nella mia didattica. Uno strumento, ne abbiamo parlato in classe. Se anche quella di ieri dovesse essere andata male (prima fatemi correggere però) ne faremo altre, impararemo qualcosa (si impara dagli errori e solo da quelli, non vi è altra via) e, sopra ogni altra cosa, continueremo a parlare di matematica, unica cosa che alla fine conta. Come piccola consolazione ho deciso di scrivervi questa piccola lettera per ribadire, con un semplice esempio, la natura straordinaria della matematica, esplorazione inesauribile che, per fortuna, ha poco a che vedere con il quotidiano che avviene in classe.

Poniamoci la seguente domanda, apparentemente semplice: esistono due numeri irrazionali $x$ e $y$ tali che $x^y$ sia razionale? Prima di tutto vi starete chiedendo a cosa serva rispondere a questa domanda; la mia risposta la sapete già, come la maggior parte della matematica bella, non serve a nulla. Ma a differenza di altre domande sul reale, come quanti protoni ci sono nella nostra galassia o quale sia la massa del bosone di Higgs, questa domanda non necessità di strumenti, laboratori, soldi o anni per avere una risposta: basta una matita ed un foglio (il mio eroe personale di quando ero ragazzo, il matematico V.I.Arnold, diceva che la matematica è quella parte della fisica in cui gli esperimenti costano poco).

Riprendiamo dunque la domanda: esistono due numeri irrazionali $x$ e $y$ tali che $x^y$ sia razionale? Prima di rispondere (in maniera sorprendente, vedrete), ricordiamo insieme brevemente i termini presenti nella domanda: i numeri razionali, ricorderete, sono tutti i numeri che si possono scrivere sotto forma di rapporto tra due interi, ovvero nella forma $p/q$. I numeri irrazionali sono i numeri che non possono essere scritti sotto forma di rapporto tra due interi, ad esempio $\sqrt{2}$ o $\pi$ (all’inizio dell’anno ci siamo conosciuti proprio con la dimostrazione che $\sqrt{2}$ sia irrazionale, ricordate come mi brillavano gli occhi?).

Un ultimo appunto prima di rispondere alla domanda: avete sicuramente visto cosa significa fare $x^y$ per numeri razionali, non è detto che lo abbiate visto per numeri irrazionali. Nel caso fatemi fare una piccola deviazione che comunque mi tornerà comoda tra alcuni mesi quando vedremo insieme le funzioni esponenziali. Dovrebbe essere chiaro a tutti cosa sia ĺ’elevazione a potenza con un esponente naturale: per esempio sapete tutti che $2^2$ significa semplicemente $2\cdot 2$. Avete anche visto che è possibile dare un senso all’elevazione a potenza con esponente intero negativo: ad esempio $2^{-2}$ significa $\frac{1}{2^2}$. Perché? Dovreste essere voi a rispondermi, visto che lo avete visto nel biennio (lo avete visto, vero? Vero?). L’idea è che con questa definizione sono mantenute le proprietà delle potenze naturali, come ad esempio $a^b\cdot a^c = a^{b+c}$. Con questo principio interno (mantenere vere le proprietà delle potenze) è possibile, avete visto, dare un senso anche ad esponenti razionali: per esempio $2^{\frac{1}{2}}$ è quel numero che elevato alla seconda è uguale a $2$, ovvero è la radice quadrata di $2$. E così via. A questo punto possiamo estendere l’idea di potenza anche ad esponenti irrazionali; basterà considerare un numero irrazionale come il risultato di un’approssimazione sempre più precisa con numeri razionali (lo avete visto nel biennio? Si? Vero? Ditemi di si.) e allora anche l’elevazione a potenza irrazionale si può vedere come una sequenza di potenze ad esponente razionale che si avvicina ad un valore limite in modo sempre più preciso. Cerco di spiegarmi con un esempio: cosa significa $2^\sqrt{2}$? Siccome $\sqrt{2}$ può essere approssimato sempre più precisamente con una sequenza di numeri razionali, ad esempio $1, 1.4, 1.41, 1.412 \ldots $ etc., possiamo immaginare che allora $2^\sqrt{2}$ sia approssimabile sempre più precisamente dalla sequenza $2^1, 2^{1.4}, 2^{1.41}, 2^{1.412} \ldots $ etc. Questa sequenza converge effettivamente ad un numero? Si, fidatevi, vari teoremi garantiscono che questa definizione di potenza ad esponente irrazionale funziona e, soprattutto, ha tutte le stesse proprietà delle normali potenze ad esponenti irrazionali.

Bene, adesso finalmente possiamo rispondere alla nostra domanda, ricordiamola per la terza volta: esistono due numeri irrazionali $x$ ed $y$ tali che $x^y$ sia razionale? Dimostriamo che la risposta è affermativa. Consideriamo il numero $z =\sqrt{2}^\sqrt{2}$. Abbiamo due casi, o è razionale o è irrazionale. Nel primo caso abbiamo trovato la coppia $x$, $y$ che cercavamo. Nel secondo caso consideriamo il numero $z^\sqrt{2}$, è immediato verificare che vale $2$, dunque è razionale. Quindi, se $z$ è razionale basta prendere la coppia $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$, se $z$ è irrazionale basta prendere la coppia $z$ e $\sqrt{2}$.

La cosa incredibile di questa semplice dimostrazione è che noi alla fine non sappiamo quali siano $x$ ed $y$, se quelli del primo caso o quelli del secondo caso. Abbiamo una dimostrazione matematica precisa che dimostra l’esistenza di due numeri che soddisfano una certa proprietà senza però sapere quali siano questi due numeri; tecnicamente abbiamo fatto una dimostrazione non costruttivista, ovvero che non costruisce gli enti finali di cui vuole dimostrare l’esistenza. Esistono, ma non sappiamo chi siano. Dimostrazioni di questo tipo sono comuni in matematica (ne vedremo altre nei prossimi anni) ed il loro fascino risiede nel fatto che ci danno certezza circa l’esistenza di un certo ente senza però che dicano quale sia questo ente. Non trovate meraviglioso questo panorama?

Concludo dicendo che nella dimostrazione c’è un dettaglio che dettaglio non è; ad un certo punto ho detto che $z$ o è razionale o è irrazionale, non c’è un’altra possibilità. Questa affermazione, il famoso tertium non datur (chiedete alla vostra prof. di Filosofia l’importanza di questo principio del terzo escluso per tutto il pensiero occidentale) non è universalmente accettata da tutti i matematici. Di fatto vi è un dibattito nella comunità matematica, nato nel secolo scorso, in cui si discute se sia o meno lecito accettare in matematica dimostrazioni non costruttiviste. Ma questa è un’altra storia, magari per la prossima lettera consolatoria.

Un caro saluto, prof.