Carissima Rebecca, mi ha fatto piacere ricevere tue notizie da Vienna, la tua lettera, come sempre, mi ha ricordato con parole gentili il tempo passato in classe con tutti voi. Da tempo avrei voluto rispondere, se non l’ho fatto prima è per quel flusso costante che voi chiamate tempo e che per me è sempre più un caos indistinto di impegni e confusione. Sono felice che i tuoi studi proseguano bene, si legge la meraviglia nelle righe che mi hai mandato. Lo stupore, come deve essere. In questi giorni mi è capitato di ripensare alle nostre discussioni sulla probabilità, i dubbi, le domande, i problemi. Ricordi quanto ne abbiamo parlato in quarta, con te ed il resto della classe? Ho sempre trovato interessante la teoria della probabilità per vari motivi, non ultimo il fatto che è forse l’unica parte di matematica “moderna” (parliamo del ‘900) inserita nei programmi ministeriali. Ma soprattutto per le implicazioni e le discussioni che i problemi di probabilità invariabilmente generano. Fammi ricordare due aspetti che ritengo interessanti. Il primo riguarda il fatto che quando parliamo di probabilità di un evento dobbiamo includere la nostra conoscenza del sistema, ovvero le informazioni di cui siamo a disposizione (o non siamo a disposizione) influenzano il calcolo delle probabilità. Un esempio banale, ma paradigmatico: metto un gesso in una delle mie mani e poi ti mostro i pugni chiusi chiedendoti qual è la probabilità che il gesso sia nella mano sinistra. Ovviamente sarà $1/2$ (il cinquanta per cento). Se io però ti faccio vedere il palmo vuoto della mia mano destra, questa probabilità diventa improvvisamente pari a $1$ (la certezza che il gesso sia nalle mano sinistra chiusa). Dunque aggiungendo informazione, cambio la probabilità. Nota inoltre che io potrei fare lo stesso gioco a due persone diverse, ad una mostrare il palmo vuoto della destra ed ad un’altra no; in tal caso le due persone farebbero calcoli con probabilità diverse, a seconda delle conoscenza che hanno del sistema. Questo aspetto mi ha sempre affascinato perché ci coinvolge, come esseri senzienti, direttamente nella struttura matematica di base. Il nostro grado di conoscenza altera i valori di probabilità degli eventi. Il secondo motivo di interesse è che le probabilità, per loro natura e definizione, non dicono nulla. Dire che il lancio di una moneta darà come esito testa al cinquanta per cento non mi dice nulla su quello che succederà nel singolo lancio. E nemmeno sull’esito di due lanci, non mi aspetto una testa e una croce (magari poi succede, ma non è detto). Potrei tranquillamente lanciare $100$ volte la moneta ed ottenere sempre croce, anche se è poco probabile. Il punto è proprio questo: la teoria mi dice che è poco probabile, non che è impossibile. Dunque è una matematica molto diversa da quella a cui siamo abituati ($2+2$ è uguale a $4$ sempre, per esempio).

Insomma, come sai è una parte che mi piace svolgere, mostrare, discutere in classe. Una recente chiaccherata con alcuni colleghi ha portato alla mia attenzione il vecchio paradosso di Monty-Hall in una forma interessante; vorrei parlartene perché sono sicuro ricorderai le accese discussioni che abbiamo avuto in classe su questo problema, i vostri dubbi, i miei tentativi di spiegarvi, la meraviglia finale nel vedere un risultato a cui non si crede (per usare le parole di Cantor).

Ricorderai gli estremi del paradosso (che, come tutti i paradossi, non ha nulla di strano, è solo un veicolo di approfondimento e discussione), ma nel dubbio te li riscrivo.

Immagina il seguente gioco: un giocatore viene posto davanti a tre porte chiuse e sa che dietro una di queste c’è una macchina e dietro le altre ci sono due capre. Ovviamente non sa a priori quale sia la porta con la macchina e quali quelle con le capre e deve fare una scelta a scatola chiusa. Una volta che ha scelto la porta, un presentatore, che conosce perfettamente e senza dubbi quale porta contiene la macchina, apre una delle due porte non scelte dal giocatore e mostra una capra (siccome le capre sono due il presentatore può sempre aprire una porta che contiene una capra). A questo punto il giocatore viene posto davanti a questa decisione: può mantenere la porta che ha scelto inizialmente oppure può cambiare con l’altra porta rimasta chiusa (ovviamente quella aperta dal presentatore con la capra non viene nemmeno proposta). Cosa conviene fare? Se ricordi quando vi parlai in classe di questo problema tutti voi (come molte persone) avete risposto che siccome ora la situazione presenta due porte, una con una macchina ed una con una capra, la probabilità di indovinare la porta con la macchina è esattamente pari ad 1/2 (cinquanta per cento), quindi è ininfluente la scelta di mantenere la porta o di cambiarla. In realtà, come ben sai, le cose non stanno così. Ricordiamo insieme il calcolo: per esplicitare meglio la situazione immagina che il giocatore abbia scelto la porta $1$ e che il presentatore abbia aperto la porta $3$ mostrando una capra. Qual è la probabilità che la macchina sia dietro la porta $2$? Definiamo i seguenti due eventi

  • $A$ = “La macchina è dietro la porta $2$”
  • $B$ = “Il presentatore apre la porta $3$ con dietro una capra”

Indichiamo infine con $P(E)$ la probabilità che un certo evento $E$ avvenga e con $P(E|F)$ la cosiddetta probabilità condizionata, ovvero la probabilità che un certo evento $E$ avvenga sapendo che è avvenuto l’evento $F$.

Allora possiamo rispondere alla nostra domanda calcolando

Per fare questo calcolo usiamo il noto teorema di Bayes (o meglio una sua versione semplificata), ricordi?

Dunque,

  • $P(B|A) = 1 $ in quanto la probabilità che il presentatore apra la porta $3$ con dietro la capra sapendo che la macchina è dietro la porta $2$ è $1$ non potendo lui aprire la porta $2$.
  • $P(A) = 1/3 $ in quanto la macchina si trova casualmente dietro una delle tre porte con ugual probabilità
  • $P(B) = 1/2 $ in quanto il presentatore, in assenza di ulteriori conoscenze, apre una delle due porte con ugual probabilità

Mettendo insieme questi valori scopriamo che

Dunque la probabilità che la macchina sia dietro la seconda porta, avendo visto il presentatore aprire la terza porta con una capra, è pari a $2/3$. La probabilità che la macchina allora sia dietro la prima porta, quella scelta inizialmente, è $1/3$ (ricorda che la normalizzazione richiede che la somma delle probabilità faccia $1$). Dunque cambiare porta raddoppia le probabilità di successo.

Questo era il Monty-Hall classico, ora la variante interessante che mi hanno sottoposto alcuni colleghi qualche giorno fa in sala insegnanti. Supponi che ad aprire la porta con la capra non sia il presentatore, ma una folata di vento. Ovvero, supponi che dopo aver scelto la prima porta (che viene in qualche modo bloccata) una folata di vento apra la porta tre e da essa spunti una capra. A prima vista potresti pensare che non cambi nulla dal discorso precedente, ma in realtà non è così. Che le due situazioni non siano equivalenti è chiaro dalla seguente considerazione: immagina di ripetere il gioco molte volte, nel caso in cui la porta venga aperta dal presentatore tu vedrai sempre dietro una capra (lui sa dove si trova la macchina e non aprirà mai quella porta), nel caso che la porta venga aperta casualmente dal vento, a volte potresti vedere la macchina (e quindi automaticamente avresti perso). Ma facciamo il calcolo. Definiamo adesso

  • $A$ = “La macchina è dietro la porta $2$”
  • $B$ = “Il vento apre la porta $3$ e dietro c’è una capra”

Nota come l’evento $B$ adesso sia composto dall’evento “il vento apre la porta $3$ (casualmente)” e l’evento “dietro la porta $3$ c’è una capra”. Ricorderai che per eventi composti indipendenti come questi si moltiplicano le probabilità. Usiamo sempre Bayes considerando che

  • $P(B|A) = 1/2\cdot 1 = 1/2 $ in quanto la probabilità che il vento apra la porta $3$ è pari a $1/2$ e la probabilità che dietro ci sia la capra sapendo che la macchina è dietro la porta $2$ è $1$.
  • $P(A) = 1/3 $ in quanto la macchina si trova casualmente dietro una delle tre porte con ugual probabilità
  • $P(B) = 1/2\cdot 2/3 = 1/3 $ in quanto il vento apre una delle due porte con ugual probabilità e, non sapendo altro, la probabilità che dietro ci sia una capra è di $2/3$ (due capre su tre porte).

Mettendo insieme otteniamo questa volta

Questa volta, con il vento, la probabilità di vincere cambiando porta è uguale alla probabilità di vincere non cambiando porta, quindi non vi è una strategia migliore, possiamo decidere di cambiare o non cambiare.

Interessante questa variante: se io vedo la porta con la capra che si apre per una scelta voluta (il presentatore), allora ho una strategia, se invece la porta con la capra si apre casualmente (il vento), la strategia è diversa. Sapere che un certo evento è voluto o casuale cambia il calcolo; considerazione tutto sommato non molto paradossale ed abbastanza intuitiva.

Bene, sono arrivato in fondo, mi rendo conto di aver scritto più di quello che avrei dovuto, perdonerai l’entusiasmo del tuo vecchio professore per dipanare una questione tutto sommato marginale. Salutami Vienna e se puoi visita per me la lapide di Ludwig Boltzmann, figura a cui sono molto legato.

Con affettuoso ricordo, tuo (ex)prof.