Cara L, perdona se rispondo solo ora, ma la tua domanda non era semplice. Mi chiedi della libertà che hai intravisto nella matematica, ne intuisco il timore e forse un pregiudizio: come può la materia delle regole essere libera? Un malinteso, io credo, tende ad associare la matematica al preciso, all’immacolato, alla certezza, alla regola ferrea e senza appello. “Palazzo dai precisi cristalli” dirà Borges. In questi pochi mesi che ci siamo conosciuti spero di avervi dato un’idea un po’ diversa, un altro respiro. Un delicato equilibrio è richiesto, tra regola e libertà, parola che non significa poter fare tutto ciò che si vuole, ma poter sperare tutto ciò che si vuole. La matematica, come la poesia, non richiede il reale, semmai lo arricchisce. Di nuovo Borges se ne accorse, ma, se leggi bene, trovi tale associazione anche nella nostra Costituzione dove nell’articolo 33 si trova per ben due volte nella stessa frase la parola “libera/libero”.

Provo a declinare. Recentemente ho tenuto una piccola conferenza per voi studenti e studentesse su modelli matematici di propagazione delle notizie su una rete, argomento attuale e pieno di sorprese. Lo scopo era mostrare come in questo ambito si possano applicare modelli biologici trattando le notizie come “virus” che si propagano in una popolazione. Facciamo un esempio: immagina che io racconti qualcosa a due miei amici i quali, a loro volta, raccontano questa cosa a due loro amici ciascuno e così via. Le persone coinvolte seguono quella che si chiama una legge esponenziale: in questo caso $1, 2, 4, 8, 16 \ldots$. Si può scrivere il tutto in termini semplici immaginando che al passo $i$-esimo le persone raggiunte siano $n_i$; allora

Tale funzione si chiama “esponenziale in base 2” e la studieremo più avanti (in realtà siccome $i$ qui è un valore naturale queste sono semplicemente potenze, ma il termine esponenziale è più evocativo di quello che vedremo più avanti).

Con questa notazione si vede subito che

Questa è un’equazione ricorsiva la cui soluzione è, appunto, l’esponenziale in base due (la dimostrazione che $2^i$ è soluzione è facile e te la lascio; riesci anche a ragionare sul fatto che sia l’unica?).

Un passaggio interessante si ottiene se si riscrive l’equazione ricorsiva in questo modo

e dunque

Il termine di sinistra è la variazione di persone raggiunte in un passo e si vede che è uguale alla popolazione al passo precedente. Questa cosa è interessante perché ci dice che tale variazione è sempre positiva e quindi la popolazione raggiunta cresce in continuazione; inoltre siccome la popolazione cresce, la variazione pure cresce e dunque l’aumento di popolazione avviene in modo sempre più rapido. In quinta vedremo che tutto questo può essere espresso utilizzando l’analisi e le derivate, ma non ti rovino la sorpresa.

L’equazione precedente può essere generalizzata; immagina che invece di due amici io ne abbia dieci e anche loro dieci e così via, l’equazione diventa

e, se in generale ho $k$ amici

La soluzione, come prima, sarà

e come prima possiamo scrivere un tasso di crescita come

Ponendo $k-1 = a$

Come prima la crescita aumenta con ogni passo proporzionalmente alla popolazione. Supponiamo adesso di voler sapere quanti passi $i$ servano per raggiungere una determinata popolazione, diciamo $N$. Si pone

Questa equazione per $i$ non è semplice, richiede un concetto nuovo che si chiama logaritmo e che non è il caso che io ti anticipi qui (lo vedremo a fine anno). Ma facciamo un caso particolare risolvibile facilmente, immaginiamo che sia $N$ che $k$ siano potenze di $10$, ovvero $N = 10^\alpha$ e $k=10^\beta$. Allora l’equazione diventa

da cui immediatamente

e dunque

Per esempio ci chiediamo, quanti passi siano necessari per raggiungere $10$ miliardi di persone ($N = 10^{10}$) se ognuno passa la notizia a $100$ conoscenti ($k = 10^2$) (nell’epoca dei social network $100$ contatti sono piuttosto comuni). Si ottiene

(anche se ancora non lo sai abbiamo scritto una relazione logaritmica).

Interessante: se inizio a propagare una notizia partendo da una singola persona in un mondo in cui tutti sono collegati ad altre cento persone, dopo cinque passaggi arrivo a $10$ miliardi di persone, più della popolazione terrestre. Come vedremo tra un attimo il modello non è realistico, una crescita esponenziale non può durare per sempre. Però il fatto è che la propagazione di notizie in una rete di contatti (o la propagazione di una malattia in una popolazione) può essere comunque molto rapida in determinate condizioni (da cui tutti i problemi che abbiamo oggi con le cosiddette “fake news” e la velocità con cui riescono a propagarsi). Il numero $5$ ottenuto prima è alla base del fenomeno del “mondo piccolo”, ovvero in una rete complessa di relazioni è molto facile connettere con pochi passi due elementi della rete qualsiasi. Durante la conferenza mi sono divertito con gli studenti e le studentesse a trovare varie connessioni (da Trump a Britney Spear passando per Rolando), te ne propongo una molto semplice che mi è venuta in mente stasera: io ho avuto la fortuna di conoscere ed incontrare per più volte il prof. Gerard ‘t Hooft, premio Nobel per la Fisica nel 1999 (in una occasione l’ho dovuto scarrozzare per Udine su una vecchia macchina scassata in cui la portiera non si apriva, ma questa è una storia per un’altra lettera). Il prof. ‘t Hooft ha conosciuto, durante la consegna del premio Nobel, il re di Svezia Carlo XVI Gustavo. Il re di Svezia conosceva, per averle consegnato il premio Nobel per la letteratura nel 1996, la poetessa polacca Wislawa Szymborska. Dunque sono a tre passaggi (prendono anche il nome di “gradi di separazione”) dalla mia poetessa preferita.

Ma è proprio vero che il mondo è piccolo? Il modello che abbiamo usato è troppo semplicistico; la rete è costituita da un nodo di partenza (io) a cui collego $k$ nodi a ciascuo dei quali collego altri $k$ nodi e così via in cascata. Una tale rete di connessioni prende il nome di “albero” ed è una rete su cui, come abbiamo visto, la propagazione avviene in modo molto rapido. In realtà le reti reali sono più complesse e di solito non sono degli alberi. Per esempio è irrealistico che i miei $k$ amici trasmettano la notizia ad altri $k$ amici ciascuno senza che ci siano delle intersezioni, ovvero degli amici in comune che quindi ricevono le notizie da più parti. Studiando delle reti più realistiche (ne ho parlato alla conferenza) si trova che comunque il fenomeno del mondo piccolo è ancora valido, anche se l’inertconnessione non cresce in modo esponenziale come per un albero. Per darti un assaggio prova ad immaginare la stessa situazione di prima, ma con la seguente modifica: ad ongi passo del processo il numero di persone con cui ciascuno si può mettere in contatto per trasmettere la notizia decresce perché molte sono già state raggiunte da altri. Il modello più semplice è il seguente

Il significato del nuovo termine negativo $hn_i$ è il seguente; ad ogni passo la popolazione aumenta, ma non di $k$ volte, il fattore moltiplicativo diminuisce man mano che $n_i$ diventa più grande. Questa equazione prende il nome di equazione logistica ed è molto importante in vari ambiti (per esempio può essere usata per esplorare fenomeni caotici, ma questa è un’altra storia). Lascio a te esplorare le sue proprietà e la sua soluzione, ma ti invito a notare che tale equazione ha una soluzione stabile, ovvero una soluzione che rimane costante ad ogni passo (a differenza della soluzione esponenziale che cresce di continuo). Sai trovarla?

Ti ho scritto (male e di fretta, me ne scuso) di reti, della propagazione su di esse, della crescita esponenziale, dell’equazione logistica, dei logaritmi, del mondo piccolo; tutti questi temi sono ricchi di strutture, di problemi, di soluzioni, un vasto universo esplorabile con matematica tutto sommato elementare. Sarebbe bello parlarne ancora, ma mi sono dilungato più del dovuto ed ho deviato dal tema iniziale; volevo semplicemente portare qualche esempio della vasta libertà che la matematica ci consente. Abbiamo discusso di notizie che si propagano di bocca in bocca su una rete di persone, ma potevano essere anche malati infettati durante la propagazione di una malattia o informazioni che si propagano in una rete informatica o altro. Esiste sempre la libertà di pensare a tutto questo ed al suo contrario; possiamo anche immaginare, ed è bello farlo, di aver parlato solo di alcune equazioni senza significato, interessati alla loro struttura e non al loro significato. Insomma, liberi.

Un caro saluto, prof.