Caro F, stamane, durante il compito in classe, ho visto alcune perplessità sugli esercizi che vi ho proposto. Fermo restando che se non saremo soddisfatti (io e voi) degli esiti della verifica la possiamo sempre rifare, ci tenevo ad analizzare un punto importante toccato da uno dei quesiti in termini un po’ più astratti e formali.

Immagina di avere un corpo di massa $m$ in orbita circolare stabile di raggio $r$ intorno ad un corpo di massa $M$, con $M$ molto maggiore di $m$. Abbiamo visto in classe (ed era una delle domande di stamane) come determinare la velocità orbitale; per percorrere un’orbita con moto circolare uniforme è necessaria una forza centripeta

che, nel caso della gravità non relativistica, è data dalla forza di attrazione universale di Newton

Uguagliando le due espressioni si ottiene

da cui, con rapidi passaggi algebrici

Prima di arrivare al punto che vorrei analizzare, nota che, come discusso in classe, la velocità di un’orbita stabile circolare diminuisce aumentando il raggio dell’orbita.

Immaginiamo adesso (come nel secondo punto del problema di stamane) di voler calcolare l’energia totale $E$ del corpo in orbita. Come sappiamo

dove $K$ è l’energia cinetica e $U$ quella potenziale. Nel nostro caso (dinamica non relativistica e gravità non relativistica) si ha

Nota come il termine di energia potenziale abbia un segno meno avendo scelto, ricorderai, lo zero dell’energia potenziale a distanza infinita.

Se siamo in orbita circolare stabile al posto di $v$ possiamo sostituire la velocità orbitale trovata prima, ottenendo

da cui

che si può anche scrivere come

oppure come

Questa relazione (in una di queste ultime due forme che ho appena scritto) è un caso particolare di quello che i fisici chiamano teorema del viriale. Stamattina, senza averne parlato prima, vi ho messo davanti a questo risultato. Perché è così importante? Vediamone alcuni aspetti. Intanto, siccome $K$ è sicuramente positivo, questo risultato ci dice che per un sistema legato in orbita l’energia totale è sicuramente negativa. Inoltre si vede subito che fornendo energia al sistema ($E$ aumenta) l’energia cinetica, e dunque la velocità, diminuisce. Questa ultima considerazione è forse controintuitiva, siamo abituati a sistemi in cui se fornisco energia le velocità in gioco aumentano. Per esempio se fornisco energia ad un gas (per esempio con una sorgente di calore), la velocità delle sue molecole tende ad aumentare (innalzamento della temperatura). Per un sistema legato gravitazionalmente sembra valga il contrario, più energia fornisco più la velocità diminuisce. Il risultato dipende dal fatto che stiamo parlando di ѕistemi legati e quindi si deve tener conto della particolare forma dell’energia potenziale. Il teorema del viriale si può generalizzare a situazioni molto più complicate e a potenziali diversi da quello gravitazionale, ma nel nostro caso semplificato ci permette di osservare un fenomeno interessante. Immagina una nube di gas autogravitante, ovvero in cui le sue parti sono legate dalla forza gravitazionale (quando parlo di parti puoi immaginare delle macro parti o addirittura le singole molecole che costituiscono il gas). Immagina che per qualche motivo la nube si contragga leggermente (per esempio per una fluttuazione casuale: in quinta studieremo meglio questo tipo di ѕistemi, per ora accontentati di un’analisi un po’ vaga). A causa della contrazione (diminuzione di volume) la nube aumenta leggermente la sua temperatura rispetto al resto dello spazio che la circonda. Allora, per tornare in equilibrio termodinamico con l’ambiente, la nube tenterà di perdere energia (per esempio per irraggiamento). Ma, dal teorema del viriale, sappiamo che questo porterà ad una contrazione ulteriore e dunque ad un aumento delle velocità delle parti della nube, ovvero un aumento della temperatura. Dunque più perde energia per raffreddarsi, più la nube si contrae e si scalda. Questo tipo di processo instabile autoalimentato è alla base della formazione di stelle dal collasso gravitazionale di nubi gassose (per esempio idrogeno).

Mi rendo conto di essere stato un po’ (troppo) vago, ma i dettagli li vedremo in quinta. Qui ci tenevo solo a mostrarti come anche in un semplice esercizio come quello del compito di stamattina si possano nascondere risultati inaspettati ed interessanti. Spero che vi siate divertiti a fare le vostre scoperte e spero davvero che vi sia chiaro, prima o poi, il valore dei compiti in classe non come angoscioso ostacolo da superare, ma come meravigliosa occasione per mettere in campo quello che abbiamo imparato (parlo al plurale non a caso) in un continuo lavoro di scoperta. Avremo, sono sicuro, molte altre occasioni.