Carissimo L, ti scrivo brevemente per rispondere alla tua lettera. Purtroppo mi sono accorto di aver perso gli appunti di cosmologia di cui ti ho parlato, durante il trasloco di un anno fa temo che siano finiti da qualche parte non prevista. Pazienza, non erano sicuramente speciali, mi dispiace perché avevo dedicato un po’ di tempo a scriverli. Magari è l’occasione per ripensarli ex novo. Nel frattempo cerco di rispondere alla tua domanda in questa lettera, ti propongo un calcolo molto semplice sull’argomento che hai deciso di approfondire.

Partiamo dal contesto: ci sono evidenze osservative piuttosto solide che ci dicono che l’universo si sta espandendo, ovvero la distanza tra le galassie aumenta nel tempo. La questione non è semplice, la teoria che prevede e descrive in modo molto preciso questa espansione è la Relatività Generale di Einstein, teoria di cui facciamo qualche accenno in quinta, ma che non intendo approfondire qui. Quello che voglio proporti in queste poche righe è un semplice calcolo classico nell’ambito della meccanica newtoniana che, incredibilmente, fornisce un risultato uguale a quello ottenibile con la teoria più complessa (non è l’unico caso di queste strane coincidenze in fisica). Prima di partire ci tengo a sottolineare che questo modello non è realistico da molti punti di vista, ma permette con pochi calcoli di avere un’idea generale di alcuni aspetti del fenomeno. I fisici chiamano questi modelli toy models per sottolineare che non possono essere usati per studiare una rappresentazione fedele della realtà (qualsiasi cosa si intenda con realtà), ma possono essere usati per averne un’idea. Insomma, una via di mezzo tra una teoria matematica corretta, ma difficile da riportare in ambito liceale, e la storiella divulgativa che purtroppo troppo spesso viene scambiata per didattica.

Le ipotesi del modello sono:

  • vale la teoria classica della gravitazione universale di Newton che hai studiato sicuramente in terza;
  • dai dati osservativi sappiamo che la velocità con cui varia la distanza $r$ tra due galassie è direttamente proporzionale a $r$, ovvero la famosa legge di Hubble

    dove $H$ è una costante (costante di Hubble, appunto);

  • l’universo è descrivibile da una distribuzione omogenea di materia con densità $\rho$ a simmetria sferica. Sappiamo che questo non è vero su piccola scala, la materia si trova concentrata in stelle, pianeti, ammassi, galassie etc con grandi spazi “vuoti”. Però su scala cosmologica si è osservata una notevole corrispondenza dei dati osservativi con questa ipotesi di omogeneità. La simmetria sferica seve per un dettaglio tecnico, puoi immaginare che il raggio sia talmente grande da essere praticamente un universo infinito.

Immaginiamo di posizionarci nel centro $O$ e di osservare una galassia di massa $m$ ad una distanza $r$ da noi. Per il teorema di Gauss (si, quello che hai studiato per il campo elettrico in quarta) e per la simmetria sferica (ecco a cosa serve) il campo gravitazionale che agisce sulla galassia è generato solo dalla materia all’interno della sfera di raggio $r$, non da quella esterna. Chiamiamo la massa contenuta in questa ѕfera $M(r)$ che è legata alla densità $\rho$ dell’universo

La galassia è dunque soggetta ad una forza radiale verso $O$ e non può stare ferma. Questo punto è fondamentale, in un universo newtoniano finito non può esserci, in presenza della sola gravità, equilibrio, l’universo deve o espandersi o contrarsi; immaginiamo che si stia allontanando da $O$ seguento la legge di Hubble, quindi descriviamo un’universo in espansione. Scriviamo quindi l’energia meccanica totale della galassia

(il primo termine è l’energia cinetica, il secondo è l’energia potenziale gravitazionale che conosci dalla terza). Usando la legge di Hubble e l’espressione per $M(r)$ si ottiene

da cui, semplificando

Raccogliendo il termine $\frac{1}{2}mr^2$ si ottiene

Come ricorderai dalla meccanica classia, se $E$ è positiva la galassia si allontanerà all’infinito (sistema aperto) senza mai fermarsi, ovvero l’energia cinetica è maggiore di quella potenziale di legame. Se $E$ è minore di zero invece la galassia si fermerà e tornerà indietro (sistema chiuso). Il caso $E=0$ è quello che discrimina tra i due, la galassia si fermerà all’infinito. Si vede dall’espressione di $E$ che abbiamo ottenuto che il segno non dipende da $m$ o da $r$, ma solo da fattori numerici e da $\rho$. Dunque esisterà un valore critico della densità, chiamiamolo $\rho_c$ per cui $E=0$; si vede facilmente che

Riassumendo, in questo modello classico abbiamo un universo in espansione con la legge di Hubble e l’espansione procederà per sempre se la densità è inferiore ad un certo valore critico $\rho_c$, altrimenti si fermerà e tornerà indietro se la densità è superiore a $\rho_c$. Incredibilmente il modello di universo in espansione nell’ambito della Relatività Generale fornisce un risultato analogo e con una densità critica che è esattamente uguale a quella trovata qui. Al di là di questa coincidenza sono però necessari alcuni commenti.

  1. Il modello classico è basato su una distribuzione di materia in movimento che immaginiamo contenuta in uno spazio vuoto; in Relatività Generale la materia è ferma ed è lo spazio che dinamicamente si espande. L’immagine di un’universo che si espande in uno spazio contenitore vuoto è quindi sbagliata secondo la visione moderna della cosmologia, qui la usiamo solo per semplificarci la vita nei calcoli.
  2. In questo modello il punto $O$ ha un ruolo particolare, è il centro dell’universo. Come detto precedentemente questo universo a simmetria sferica è finito per poter fare il calcolo che abbiamo fatto, se proviamo a far tendere la sua dimensione all’infinito viene fuori un problema tecnico (che ti risparmio). Dunque è un modello in cui c’è un centro fisso ed un universo in espansione rispetto a questo centro. Nel modello relativistico tutto questo non c’è, l’universo è infinito e non vi è alcun centro, tutti i punti sono equivalenti e da ciascun punto si vede l’espansione con la medesima legge di Hubble.
  3. Sottolineate queste due forzature, il modello permette però di vedere in modo chiaro, in un ambito newtoniano, la natura attrattiva della gravità; una densità troppo alta ($\rho > \rho_c)$ impedisce all’universo di espanѕersi per sempre. Oggi, per motivi teorici piuttosto complessi, si è portati a credere che la densità dell’universo sia proprio coincidente con il valore critico $\rho_c$. Se però si fanno osservazioni, la materia visibile ha una densità molto più bassa. Dunque sembra che ci sia una gran quantità di materia nell’universo che non si vede (sto semplificando moltissimo, mi perdonerai visto il contesto); tale materia prende il nome di materia oscura e capirne la natura è uno dei problemi aperti della cosmologia.
  4. C’è un’ulteriore complicazione rispetto a quanto detto fino ad ora; si è infatti scoperto recentemente (diciamo negli ultimi vent’anni) che non solo l’universo è in espansione, ma sta accelerando. Questo fatto è in contrasto con la natura attrattiva della gravità, anche nel nostro modello newtoniano semplificato ci si aspetta che l’espansione rallenti sia nel caso in cui prima o poi si fermerà sia nel caso che proceda per sempre. La presenza di una accelerazione pone dunque davanti al fatto che la gravità non è l’unica forza che agisce su scale cosmologiche, deve esserci un’ulteriore forza repulsiva che su lunghe distanze imprime un’accelerazione all’espansione dell’universo. La natura di questa forza, che i fisici chiamano con il termine energia oscura è un altro mistero irrisolto della cosmologia (se vuoi te ne posso parlare in una lettera successiva).

Bene, ci sarebbero molte altre cose da dire, ma credo di aver scritto quel che mi premeva, ovvero la possibilità di descrivere i punti fondamentali di un fenomeno complesso come l’espansione dell’universo con un modello semplificato che, per quanto grezzo e sicuramente non adeguato da molti punti di vista, è accessibile ad uno studente o ad una studentessa di liceo. La possibilità di sviluppare modelli semplificati (consapevoli delle approssimazioni e dei loro limiti) per capire alcuni aspetti di fenomeni complessi credo sia un orizzonte culturale non da poco.

Un caro saluto, prof.