Cara M, come promesso ti scrivo due righe sul problema del biliardo circolare che vi ho lasciato in classe qualche settimana fa. Provo a dimostrarti una affermazione (teorema) più forte di quello che vi avevo posto come esercizio per casa; se ricordi vi avevo chiesto di dimostrare che in un biliardo circolare classico un tiro che non è diretto lungo un diametro non può passare, per quante sponde faccia, dal centro della circonferenza. Ecco la dimostrazione di qualcosa di più forte, ovvero che per quante sponde si facciano la traiettoria non si avvicinerà mai al di sotto di una certa lunghezza fissa $d$ al centro, con $d$ che dipende solo dal tiro iniziale ed è zero solo se il tiro è lungo un diametro. Facendo riferimento alla figura

immagina di lanciare la palla da $A$ (senza perdere in generalità partiamo dal bordo, ma tutto quello che diremo vale anche partendo da un qualsiasi punto non coincidente con il centro) verso $B$. Per le leggi della riflessione la traiettoria seguirà, dopo la sponda in $B$, il segmento $BA’$ in modo tale che gli angoli $A\hat{B}D$ e $A’\hat{B}D’$ siano congruenti. Ma allora, essendo il raggio $BC$ perpendicolare alla tangente $DD’$, saranno congruenti anche gli angoli $A\hat{B}C$ e $A’\hat{B}C$. Si vede subito allora che i due triangoli $ABC$ e $A’BC$ sono congruenti e dunque lo sono le due corde $AB$ e $A’B$. Cosa abbiamo dimostrato? Che la traiettoria ad ogni sponda prosegue lungo una corda che è congruente alla corda precedente. Siccome la corda $AB$ ha una distanza $d$ dal centro $C$ che dipende solo dalla sua lunghezza $l$ e dal raggio $r$ del biliardo (dimostra per esercizio)

tutte le corde di cui è composta la traiettoria, che sono tutte congruenti tra loro per quanto visto, avranno la stessa distanza $d$ dal centro. Abbiamo dunque appena dimostrato che la traiettoria è composta da punti la cui distanza dal centro è maggiore o uguale a $d$. Dunque la traiettoria nel biliardo circolare non entra mai all’interno di una circonferenza centrata in $C$ di raggio $d$, dove $d$ dipende dal colpo iniziale. L’unica possibilità per la traiettoria di passare dal centro $C$ è dunque che $d$ sia uguale a $0$, ovvero che il colpo iniziale (e tutte le successive sponde) sia lungo un diametro.

A titolo semplificativo del tipo di traiettorie che si possono sviluppare ti allego alcune simulazioni. In questa prima la palla che parte dal punto a sinistra e forma un angolo di $30^\circ$ rispetto al diametro orizzontale percorre una traiettoria periodica a forma di triangolo equilatero.

In questa seconda l’angolo è di $45^\circ$ e di nuovo la traiettoria è periodica, ma con quattro lati (un quadrato).

Ti lascio come esercizio trovare che condizione deve soddisfare l’angolo di partenza affinché la traiettoria sia periodica, ovvero sia un poligono regolare di $n$ lati.

Se l’angolo non soddisfa la condizione che hai trovato, la traiettoria risulta non periodica; per esempio ecco un angolo di $31^\circ$ gradi con un colpo a $20$ sponde.

Lo stesso angolo con un colpo a $200$ sponde.

Infine lo stesso angolo con un colpo a $800$ sponde.

Si vede chiaramente il cerchio interno entro il quale la traiettoria non entra mai (tecnicamente è l’inviluppo delle corde che compongono la traiettoria e prende il nome di caustica). Si può dimostrare (ma non è semplice) che la traiettoria non periodica risulta densa all’interno della corona circolare delimitata dal bordo esterno e dalla caustica, ovvero per qualsiasi punto in questa corona circolare la traiettoria passa arbitrariamente vicino, pur di ammettere un numero illimitato di sponde. Magari ne parliamo un’altra volta.

Un caro saluto, prof.