Carissima A, rispondo volentieri alla tua nuova lettera di aiuto; non ti devi preoccupare, la matematica richiede pazienza e tempi lunghi.

Inizio con la prima domanda, trovare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta $x = 2$ della parte di piano delmitata dalla parabola $y^2 = 8x $ e dalla retta stessa. Intanto notiamo che la retta è verticale e la parabola ha asse orizzontale, se riflettiamo il tutto rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante non cambia nulla. Possiamo quindi sostituire il problema con quello ottenuto scambiando tra loro $x$ e $y$, ovvero la retta diventa $y=2$ e la parabola $x^2 = 8y$ che possiamo scrivere anche come $ y = \frac{1}{8}x^2$. Il volume inoltre non cambia se trasliamo tutto il piano di $2$ unità verso il basso in modo da portare la retta $y=2$ a coincidere con l’asse delle $x$; in questo modo abbiamo il classico volume di rotazione di un solido rispetto all’asse delle $x$, calcolo che sappiamo fare

La parabola traslata risulta

Ci servono infine i punti di intersezione della parabola con l’asse, ovvero dobbiamo risolvere

da cui

le cui soluzioni sono $\pm 4$.

Il volume del solido di rotazione sarà allora dato dall’integrale

integrale polinomiale che ti lascio come esercizio (vista la simmetria rispetto all’asse $y$ si può anche calcolare l’integrale da $0$ a $4$ e moltiplicare il risultato per $2$).

La seconda domanda è più complessa e quindi più interessante, mi chiedi di riassumere in poche parole il principio di induzione. Io ne parlo sempre in prima quando faccio gli assiomi di Peano, ma non essendo tu una mia studentessa non posso sapere cosa avete fatto in classe, quindi provo a darti il principio senza discuterne le basi (peccato).

L’idea è semplice, supponiamo di voler dimostrare che una certa proposizione sui numeri naturali sia vera per ogni numero; per esempio supponi che io voglia dimostrare che la somma dei primi $n$ naturali è data dalla formula

Posso provare con alcuni valori di $n$ ed effettivamente verificare che la formula funziona: per esempio la somma dei primi due numeri naturali ($n=2$) è pari a $2+1 = 3$ e la formula sembra funzionare. Proviamo un caso più complicato, la somma dei primi cinque ($n=5$) numeri naturali dovrebbe essere $5+4+3+2+1 = 15$; usando la formula scritta sopra otteniamo

e di nuovo sembra funzionare. Risulta però chiaro che questo modo di procedere non può portarci ad una dimostrazione valida per ogni numero naturale, dovremmo provarla per infiniti casi e non ci basterebbero i giorni mortali che ci sono stati assegnati. Ecco che possiamo usare la dimostrazione per induzione basata, appunto, sul principio di induzione. Per dimostrare la validità di una affermazione sui numeri naturali servono due passi

  1. l’affermazione deve essere vera per un valore di partenza, normalmente $0$ o $1$ (ma potrebbe essere anche più grande);
  2. dall’ipotesi che l’affermazione sia vera per $n$ deve seguire che è vera per $n+1$ (questo si chiama passo induttivo)

La dimostrazione per induzione a volte confonde un po’ perché sembra quasi utilizzare l’affermazione che vogliamo dimostrare nelle ipotesi, ma se ti fermi un attimo a ragionare non è così: noi non stiamo ipotizzando che l’affermazione da dimostrare sia vera per ogni $n$ (altrimenti sarebbe un circolo vizioso), stiamo usando il fatto che se ipotizziamo che sia vera per $n$ (qualsiasi) allora ne discende che è vera per $n+1$. Provo a fare un esempio con la formula della somma dei primi $n$ numeri naturali vista sopra. Ecco i due passi:

  1. la formula è chiaramente vera per $n=1$; la somma del primo numero naturale contiene solo $1$, risultato ottenuto dalla formula;
  2. ipotizziamo che la formula sia vera per $n$, ovvero che la somma dei primi $n$ numeri naturali sia data dalla formula vista sopra. Dimostro ora che allora è vera anche per $n+1$; infatti per $n+1$ otteniamo (con alcune semplici manipolazioni algebriche)

    il primo termine dopo l’uguale è, per ipotesi, la formula per $n$ ovvero la somma dei primi $n$ numeri naturali; aggiungendo il secondo termine $n+1$ ottengo quindi la somma dei primi $n+1$ numeri naturali e quindi il passaggio di induzione risulta soddisfatto.

Con la dimostrazione per induzione siamo quindi in grado di dimostrare senza alcuna ombra di dubbio che una proposizione è vera in una infinità di casi (per tutti i numeri naturali). Se non è poesia questa non so cosa lo sia.

Un caro saluto, prof.