Caro F, rispondo con un po’ di ritardo alla tua lettera, il tempo ha ultimamente percorsi inconsueti. Riassumendo (e dunque banalizzando, me ne scuso) la tua domanda, dopo quanto abbiamo visto in classe mi chiedi se sia possibile immaginare un mondo con più di tre dimensioni spaziali. Non è semplice rispondere e sicuramente non basta la porzione limitata di spaziotempo che una lettera riesce a delimitare, ma provo. Per rispondere alla tua domanda, almeno parzialmente e per quel poco che posso, credo sia giusto però fare una piccola premessa su cosa si intenda per dimensione in fisica e distinguere prima di tutto le dimensioni di spazi matematici astratti usati nei modelli fisici dalle dimensioni spaziali (o temporali) dell’universo in cui viviamo. Conviene fare un esempio: per determinare la posizione di un oggetto possiamo specificare $3$ coordinate spaziali avendo cura di scegliere un opportuno sistema a cui riferirle. Se vogliamo descrivere due corpi, abbiamo bisogno di due punti nello spazio tridimensionale, ovvero due terne di valori; a volte è più utile considerare uno spazio a $6$ dimensioni (in questo caso) e descrivere la coppia di oggetti come un unico punto di questo spazio astratto. In generale se ho $N$ corpi possiamo rappresentare tutte le loro posizioni o come $N$ punti in uno spazio tridimensionale o come un unico punto in uno spazio di dimensione $3N$. Un altro esempio è dato dalla descrizione di un corpo in movimento; è possibile infatti rappresentare in un unico spazio non solo la posizione, ma anche le tre componenti della velocità di un corpo lungo i tre assi spaziali. In questo modo usando un punto in uno spazio a $6$ dimensioni è possibile rappresentare sia la posizione che la velocità di un corpo (questo spazio prende il nome di spazio delle fasi). In questi casi, ed in molti altri usati quotidianamente in fisica, gli spazi a dimensioni maggiori di $3$ non rappresentano lo spazio “reale” (qualsiasi cosa questo voglia dire) in cui viviamo, ma sono spazi matematici astratti che usiamo per rappresentare la situazione fisica in modo conveniente.

Al di là di questo uso tecnico di spazi matematici multidimensionali, la domanda è se ci sia la possibilità in fisica di avere teorie con dimensioni spaziali fisiche maggiori di 3. Prima di discutere brevemente un paio di tali teorie fisiche, chiediamoci come sia possibile determinare il numero di dimensioni spaziali. Una risposta banale potrebbe essere “basta contare quante coordinate indipendenti servono per determinare la posizione spaziale di un punto”. Da questo punto di vista le tre dimensioni corrispondono agli intuitivi gradi di libertà con cui possiamo spostarci nello spazio (avanti/indietro, destra/sinistra, alto/basso, per esempio). Un modo un po’ più formale per definire il numero di dimensioni di uno spazio è dato dalla seguente procedura (trovi questa descrizione nel monumentale volume di Misner, Taylor e Wheeler; tale procedura funziona solo per spazi di un certo tipo in cui sia definita una distanza opportuna, ma non è questo il luogo per complicare il discorso): immaginiamo di essere in uno spazio con una sola dimensione, prendiamo un punto $P$ e cerchiamo tutti i punti dello spazio che hanno una data distanza da $P$, diciamo $r$, chiamando questo insieme $S$. Dovrebbe essere abbastanza facile rendersi conto che in questo caso $S$ è costituito solo da due punti. Immaginiamo invece di essere in uno spazio a $2$ dimensioni; questa volta $S$ sarà un cerchio e quindi, se ripeto la procedura su $S$ stesso, risulterà ad una dimensione. In pratica si intuisce una procedura iterativa di questo tipo: dato lo spazio in cui ci troviamo scegliamo un punto $P$ e consideriamo tutti i punti dello spazio che hanno distanza $r$ da $P$, chiamando tale spazio $S$. Se $S$ è costituito da due soli punti ci fermiamo, altrimenti ripetiamo la costruzione a partire da $S$. Il numero di volte che ripetiamo la procedura rappresenta la dimensione dello spazio. Questa definizione di dimensione è intrinseca, cioè non fa uso di sistemi di coordinate.

Bene, dopo aver chiarito cosa si intenda per dimensione di uno spazio possiamo parlare di alcune teorie fisiche che prevedono più di tre dimensioni spaziali. Questa mia breve storia inizia nel 1919 quando il matematico Theodor Kaluza invia ad Albert Einstein una nota che contiene una teoria unificata di gravità ed elettromagnetismo. Tale articolo si inserisce in una tradizione appena emersa in quegli anni (e che caratterizzerà bene o male la ricerca teorica in fisica fino ai giorni nostri), la ricerca di una teoria che possa unificare in un unico sistema tutte le forze conosciute. Ricordiamo che all’epoca le due grandi forze conosciute e studiate erano la gravità e l’elettromagnetismo: la prima brillantemente descritta pochi anni prima da Einstein con la sua Relatività Generale (1915), la seconda descritta dalla teoria ottocentesca di Maxwell. Prima di Kaluza vi furono diversi tentativi di unificazione di queste due forze (non dimentichiamo che all’epoca queste erano le uniche due interazioni conosciute, le forze nucleari dovevano ancora essere scoperte); ricordiamo, tra i tanti, i nomi di Weyl e Nordström. Ma i tentativi erano stati fatti nel contesto della relatività di Einstein, ovvero in uno spaziotempo a $4$ dimensioni, $3$ spaziali ed una temporale. L’idea innovativa del 1919 di Kaluza è di abbandonare questo vincolo e di proporre una teoria geometrica (nello spirito della teoria di Einstein), ma in $5$ dimensioni, $4$ spaziali ed una temporale. L’uso di questa extradimensione per ottenere l’unificazione è complicato, ma Kaluza perviene ad una teoria apparentemente coerente. Nonostante alcune lettere in cui Einstein sembra apprezzare la teoria, egli comunica l’articolo di Kaluza all’Accademia di Prussia solo nel 1921: come mai due anni e mezzo dopo aver ricevuto l’articolo? Il motivo non è certo, e si sono fatte alcune ipotesi tra cui la lenta ripresa dell’economia tedesca dopo la sconfitta della I guerra mondiale che ebbe un impatto anche sulle pubblicazioni scientifiche; la carta era diventata un bene raro. L’ipotesi più probabile è però che il ritardo sia dovuto alla perplessità di Einstein su una teoria che, per quanto elegante, presenta una dimensione spaziale in più assolutamente non osservata nell’esperienza comune.

La teoria, dopo un primo momento di entusiasmo da parte dello stesso Einstein, sembra non funzionare; in particolare Einstein e collaboratori dimostrano che la teoria non prevede l’esistenza di una soluzione nel vuoto identificabile con l’elettrone, mancanza giudicata grave per una teoria unificata di gravità ed elettromagnetismo. Inoltre, come già ricordato, c’è il problema di giustificare la non osservabilità della quinta dimensione. Terzo fondamentale problema, l’aggiunta di una dimensione spaziale permette di descrivere contemporaneamente il campo gravitazionale e quello elettromagnetico, a patto però di introdurre un ulteriore campo scalare la cui natura sfugge alle interpretazioni dell’epoca e non risulta compatibile con gli esperimenti.

La teoria di uno spazio quadrimensionale rimane in sospeso fino al 1926 quando il fisico Oskar Klein, arrivato a risultati simili in modo autonomo, pubblica un importante lavoro in cui risolve alcuni problemi della teoria di Kaluza e migliora l’impianto matematico e fisico. Prima di tutto Klein propone un meccanismo di compattificazione della quinta dimensione; semplificando, invece di immaginare una ulteriore dimensione spaziale che si sviluppa all’infinito come su una retta, Klein propone di far ripiegare la quarta dimensione su un cerchio; con alcuni calcoli che coinvolgono anche la nascente meccanica quantistica, Klein riesce a dimostrare che il campo scalare aggiuntivo diventa essenzialmente irrilevante e la teoria è coerente con una carica elettrica minima (quantizzazione della carica) pur di considerare la quarta dimensione spaziale ripiegata su un raggio di $0.8\cdot 10^{-30}$ cm, un valore piccolissimo. Dunque non solo la teoria spiega la quantizzazione della carica elettrica, ma prevede una quarta dimensione spaziale talmente piccola da non essere praticamente osservabile, giustificando così la nostra percezione di vivere in una realtà con sole tre dimensioni spaziali.

Nonostante i meriti del lavoro di Kaluza e Klein e l’eleganza concettuale dell’idea, presto la teoria verrà abbandonata; lo stesso Einstein, dopo alcuni ulteriori tentativi negli anni successivi di usare uno spaziotempo a 5 dimensioni, abbandonerà l’idea delle extradimensioni spaziali e seguirà la sua ricerca verso l’unificazione (mai raggiunta) attraverso altre strade e usando un normale spaziotempo a $4$ dimensioni.

L’idea delle extradimensioni spaziali però non muore; la teoria delle stringhe, nata intorno agli anni ‘60, che propone di sostituire all’idea di particelle puntiformi oggetti a dimensioni maggiori (stringhe di dimensione uno o, più in generale, membrane a più dimensioni) recupererà l’idea di estendere lo spazio a dimensioni maggiori di tre. Senza entrare in dettagli (di cui peraltro non sono esperto, ma semplice spettatore curioso), la teoria delle stringhe fissa in modo vincolante il numero di dimensioni necessarie per funzionare (a differenza delle teorie classiche dove il numero di dimensioni è postulato). A seconda dei modelli (non vi è un’unica teoria delle stringhe) si ha la richiesta che lo spaziotempo sia costituto da più di $4$ dimensioni spaziotemporali; da $26$ per la teoria cosiddetta bosonica a $10$ per i modelli più recenti. Esiste dunque il problema di giustificare, anche in questo caso, l’apparente osservabilità di sole $4$ dimensioni spaziotemporali nell’universo in cui viviamo. Ecco che l’idea di Klein di compattificazione delle extradimensioni torna a farsi sentire; le $6$ dimensioni spaziali extra che servono alla teoria delle stringhe sono compattate in uno spazio particolare (tecnicamente è uno spazio di Calabi-Yau a tre dimensioni complesse) che a causa della sua natura non è direttamente osservabile. L’uso delle extradimensioni è motivato in modo analogo alle originali intenzioni di Kaluza e Klein, l’unificazione delle leggi di natura; in questo caso però si tratta di unificare non più solo la gravità con l’elettromagnetismo, ma tutto il modello standard delle interazioni fondamentali che ha ampliato enormemente il panorama della Fisica da quel lontano 1919 ad oggi.

Bisogna dire che dopo un grande periodo di aspettative, oggi la teoria delle stringhe sembra aver perso sostegno nella comunità scientifica, anche se al momento è ancora uno dei rami della fisica teorica più dibattuti ed attivi. Qui però mi fermo perché rischio di entrare in un campo che non è mio.

So di essere stato incompleto e vago nella migliore delle ipotesi, ma non potevo lasciare in sospeso la tua gentile domanda. Alcune delle cose che ti ho scritto le rivedremo in quinta quando spero di mostrarvi un po’ di fisica moderna; per il resto puoi sicuramente approfondire per conto tuo. In particolare ti consiglio il bel libro di Pais, “Sottile è il signore” che ha un paragrafo dedicato a Kaluza-Klein (oltre ad essere un meraviglioso ed insostituibile ritratto scientifico di Einstein). Inoltre sul sito di Princeton dei collected papers trovi quasi tutte le lettere tra Einstein e Kaluza e Klein; una lettura non semplice, ma affascinante. Ti consiglio infine il bel libro di Lee Smolin (sono di parte avendolo conosciuto in gioventù) che pur non recentissimo fornisce spunti interessanti sulla teoria delle stringhe (e sul funzionamento della comunità scientifica), ed il più recente libro di Penrose.

Un caro saluto, prof.