Carissimo F, spero che tu stia bene e che questo nostro esilio forzato dai banchi e dalle nostre chiacchierate non ti sia di troppo peso. Recentemente mi è capitato di leggere un interessante articolo sui diagrammi di Penrose-Carter di cui ti avevo accennato tempo fa in classe e volevo parlarti di un’idea che mi è venuta. Come ti dissi sono uno strumento, non semplicissimo a dire il vero, per rappresentare lo spaziotempo infinito su un diagramma finito, tipicamente nel piano; l’idea di base, come ti dirò tra poco, non è complicata e si basa su una particolare funzione che conosci bene, ma i dettagli in relatività non sono una passeggiata. Con questi diagrammi è possibile studiare le proprietà globali dello spaziotempo (connessioni, causalità, strutture conformi etc) in modo visuale, ve ne farò un cenno (ma proprio un cenno) l’anno prossimo. Leggendo l’articolo mi è venuto in mente però che una tecnica simile, semplificata, potrebbe essere usata per visualizzare il comportamento asintotico delle funzioni reali; ricorderai che abbiamo iniziato a parlare di cosa succede alle funzioni reali quando $x$ tende all’infinito e che tale studio è molto importante. Quel che segue è una spiegazione semplificata dei diagrammi di Penrose-Carter ed un loro utilizzo piuttosto banale (e probabilmente inutile) allo studio delle funzioni reali; prendilo per un esercizio estivo ed un piccolo anticipo di alcune cose che vedremo in classe tra poco.

Iniziamo con il definire la seguente trasformazione dei punti $(x,y)$ del piano reale in nuove coordinate $(u,v)$:

L’effetto è di ruotare il piano di $45^\circ$ e di dilatarlo. Successivamente definiamo due nuove coordinate $(q,p)$ in questo modo

Questo è il punto saliente di tutta la trasformazione; ricorderai infatti che la funzione arcotangente (l’inversa della tangente) ha la notevole proprietà di mandare i punti di una retta infinita nei punti di un segmento, $[-\pi/2,\pi/2]$ in modo biunivoco. In questo modo riusciamo a restringere tutto il piano in una regione limitata. Come ultimo passaggio effettuiamo la trasformazione

che in pratica ruota indietro il piano ruotato con il passaggio alle coordinate $(u,v)$. In definitiva abbiamo una trasformazione biunivoca che prende i punti del piano reale $(x,y)$ e li manda nei punti $(x’,y’)$ di un quadrato finito. Per capire come è fatto questo quadrato vediamo alcuni punti particolari; immagina di muoverti sull’asse delle $y$ verso valori sempre più grandi. Dalle definizioni si vede subito che $u$ e $v$ tendono ad infinito, dunque $q$ e $p$ tendono entrambi a $\pi/2$ e quindi $x’$ va a $0$ e $y’$ va a $\pi$. Similmente si può far vedere (esercizio) che i punti sull’asse $x$ che tendono all’infinito vanno, nel quadrato trasformato, verso il punto con $y’$ pari a $0$ e $x’$ pari a $\pi$. Ti lascio i dettagli, tutto il piano di partenza è stato compattificato nel quadrato di vertici $(-\pi,0)$, $(0,\pi)$, $(\pi,0)$, $(0,-\pi)$. (In realtà i vertici rappresentano punti del piano all’infinito, quindi propriamente non appartengono al quadrato.)

Puoi dimostrare anche facilmente che le rette inclinate a $45^\circ$ gradi (in senso orario e antiorario) vengono trasformate in rette con la stessa inclinazione. Questo è dovuto alla rotazione iniziale in $u,v$ ed il motivo è che in relatività, come ricorderai, nel piano spaziotemporale i raggi di luce hanno quell’inclinazione (in opportune unità di misura degli assi); quindi questa trasformazione dello spaziotempo non cambia i coni luce, quindi la struttura causale rappresentata. Al di là di queste motivazioni tecniche (che ti saranno più chiare tra qualche mese) e di molti tecnicismi che ho qui nascosto (in relatività i diagrammi di Penrose-Carter ѕono usati normalmente in simmetria sferica, quindi l’asse $x$ è in realtà radiale e quindi solo positivo, per esempio), soffermiamoci un attimo sul risultato: abbiamo una trasformazione continua (andrebbe dimostrato) e biunivoca tra l’intero piano reale infinito ed un quadrato di dimensione finita. Ad ogni punto del primo corrisponde in modo univoco un punto del secondo, e viceversa. La cosa è meravigliosa (grazie a Cantor non ci stupisce più di tanto) e ricorda i famosi versi di Shakespeare “Io potrei viver confinato in un guscio di noce, e tuttavia ritenermi signore d’uno spazio sconfinato” (versi che hanno ispirato il titolo di un fortunato libro di Hawking).

Cosa c’entra tutto questo con il comportamento asintotico delle funzioni? Ecco l’applicazione banale di cui ti parlavo ad inizio lettera. Possiamo studiare (analiticamente in casi semplici, altrimenti con l’ausilio di qualche programma) come vengono trasformate le curve dal piano reale al quadrato compattificato; in particolare può essere interessante vedere cosa succede al grafico di alcune funzioni andando all’infinito (negli esempi considero quasi sempre infinito positivo, ma è chiaro che si può vedere anche per infinito negativo).

Prendiamo come curva una retta verticale $x=a$. Si vede subito che quando $y$ tende ad infinito tendono ad infinito anche $u$ e $v$ (essendo $a$ un valore finito); quindi, come prima, la curva compattificata tende al punto $(0,\pi)$. Per esempio ecco come appare la retta verticale $x=2$ nel piano normale

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e nel quadrato compattificato.

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Forte vero? La curva viene distorta, ma rimane limitata nel quadrato (che per comodità ho disegnato insieme alla curva). Similmente possiamo vedere cosa succede ad una retta orizzontale; siccome in questo caso $y$ rimane costante quando $x$ tende all’infinito, si vede che $u$ tende a $-\infty$ e v a $+\infty$, da cui $q$ e $p$ rispettivamente a $-\pi/2$ e $\pi/2$ e quindi il punto all’infinito della curva diventa $(\pi, 0)$. Ecco infatti il grafico (ovviamente simmetrico rispetto al precedente) della retta orizzontale $y=2$

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e della sua versione compattificata

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Chiaramente possiamo non limitarci a rette e considerare grafici di funzioni qualsiasi. Consideriamo una funzione, per esempio, divergente, cioè che ha una $y$ che tende ad infinito (per esempio positivo) quando $x$ tende ad infinito. Si vede subito che $v$ tenderà ad infinito e quindi $p$ a $\pi/2$, mentre per $u$ dipenderà dalla funzione; se $y$ è più veloce a divergere di $x$ allora anche $q$ verrà $\pi/2$, viceversa se è più lento $q$ verrà $-\pi/2$ (ti lascio, come al solito, l’onere della verifica). Infine se $y$ e $x$ divergono allo stesso modo (cioè se la funzione ha un asintoto obliquo inclinato a $45^\circ$) si vede che $q$ viene un valore finito; in quest’ultimo caso è facile vedere che la curva tende ad un punto che sta sul bordo del quadrato (suggerimento: tale bordo soddisfa l’equazione $x’+y’ = \pi$).

Facciamo tre esempi. Partiamo dalla funzione esponenziale che, come sai, cresce più rapidamente di qualsiasi polinomio e quindi anche di $x$; questo è il grafico della funzione nel normale piano reale

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e questo è il grafico compattificato

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che come vedi tende al vertice $(0,\pi)$ (esercizio: come mai la curva “parte” dal vertice $(-\pi,0)$?).

Per simmetria la funzione logaritmica avrà questo aspetto nel piano reale

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e questo in quello compattificato

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Come vedi, divergendo più lentamente di $x$, la curva tende verso il vertice $(\pi,0)$ del quadrato.

Vediamo infine la funzione

che ha un asintoto orizzontale inclinato di $45^\circ$ (dimostralo per esercizio). Ecco la funzione (per semplicità solo per $x$ positive) nel piano normale

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ed ecco la versione compattificata.

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Noterai che, come anticipato, visto l’andamento asintotico di questa funzione la curva tende a finire sul bordo del quadrato.

Riassumiamo questo strano quadrato compattificato: le funzioni che tendono ad infinito più rapidamente di $x$ finiscono nel vertice $(0,\pi)$, quelle che tendono ad infinito meno rapidamente di $x$ finiscono nel vertice $(\pi,0)$ e quelle che tendono ad infinito come $x$ finiscono sul lato del quadrato. Abbiamo quindi un metodo visuale (anche se complicato, lo ammetto) per rappresentare l’andamento asintotico delle funzioni reali.

Mi fermo perché è tardi e son sicuro che avrai un po’ su cui lavorare. Mi auguro che questa breve camminata in un infinito racchiuso in un quadrato ti sia piaciuta come è piaciuta a me, ricorda queste cose perché l’anno prossimo ne parlerò in classe quando faremo la relatività; in quel momento i diagrammi di Penrose-Cartan saranno qualcosa di più di un semplice divertimento estivo.

Un caro saluto, prof.

P.S. Dimenticavo, ti lascio da interpretare questo grafico nel quadrato compattificato, sei in grado di capire da che tipo di funzione viene? Buon divertimento.

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