Carissimo P, ti scrivo poche righe, come promesso, per aggiornarti sulla dimostrazione di cui ti parlavo in classe. Come ti ho accennato, la lettura di un libro interessante mi ha fatto scoprire una dimostrazione dell’irrazionalità della lunghezza della diagonale di un quadrato che trovo particolarmente bella, soprattutto perché legata alle frazioni continue che, come sai, sono uno dei miei argomenti didattici preferiti. Questa costruzione è dovuta a Ippaso di Metaponto che, leggenda vuole, fu punito dagli dei con la morte per aver portato la conoscenza dell’irrazionalità agli uomini.

Considera dunque il quadrato qui rappresentato e sia la lunghezza di $DA$ pari a $a$ e di $DB$ pari a $i$; siamo interessati al rapporto $i/a$.

My helpful screenshot

Per trovarlo seguiamo questa costruzione: sulla diagonale $DB$ individua un punto $E$ tale che $DE$ abbia lunghezza $a$ e poi traccia il segmento $EF$ perpendicolare a $DB$. Dovresti riuscire a dimostrare facilmente che i segmenti $AF$, $EF$ e $EB$ sono tutti congruenti; indichiamo con $b$ la loro lunghezza. Sia infine $G$ un punto di $AB$ tale che $FG$ abbia lunghezza $b$ e indichiamo con $c$ la lunghezza di $GB$. Bene, da tutto questo si evince che

Il rapporto cercato è dunque

da cui

Ora, se guardi il triangolo $BEF$ è simile al triangolo $BDA$ e $G$ è il punto analogo a $E$. Questo significa che possiamo ripetere la costruzione ricorsivamente e quindi esisterà un certo valore $d$ tale che

Il nostro rapporto diventa allora

A questo punto la procedura può essere reiterata all’infinito, ottenendo

dove i puntini indicano, appunto, che la frazione continua all’infinito. Siccome abbiamo visto in classe che le frazioni continue infinite sono irrazionali, abbiamo appena dimostrato, seguendo le orme di Ippaso, che il rapporto tra la diagonale del quadrato ed il lato è un numero irrazionale. Con un piccolo trucco (visto in classe per la sezione aurea, se ricordi), possiamo anche trovarne esplicitamente il valore. Guardando l’ultima espressione ottenuta, infatti, è facile verificare che, indicando con $x$ il rapporto $i/a$,

Risolvendo algebricamente questa equazione troverai che $x$ è uguale a $\sqrt{2}$, come ci si aspetta dal buon vecchio teorema di Pitagora.

Sono contento di averti scritto questa piccola dimostrazione, ovviamente avremo modo di riparlarne in classe, se vorrai.

Un caro saluto, prof.