Cari ragazzi e care ragazze, ormai che avete aperto questa mia brevissima lettera vorrei parlarvi di un interessante risultato matematico, il teorema di Zeckendorf (il link è uno dei tanti che si possono trovare in rete, una semplice formulazione del teorema, insieme ad alcune interessanti applicazioni, l’ho trovata su Concrete Mathematics ).

Non vi arrabbiate, non è la prima volta che uso questo trucco con voi.

Sia data quindi la successione di Fibonacci che, come ricorderete, è formata dai numeri naturali $F_i$ tali che $F_{i+2} = F_i + F_{i+1}$ e con $F_0=0$ e $F_1=1$. Ne abbiamo parlato molto in classe e abbiamo visto insieme la connessione meravigliosa con la sezione aurea ed in generale con gli alogoi greci. Ebbene, il teorema di Zeckendorf dice che ogni numero naturale $n$ può essere visto in modo unico come somma di numeri di Fibonacci non consecutivi e diversi da $F_0$ e $F_1$. In questa somma inoltre ciascun numero di Fibonacci compare al più una volta sola. Questo teorema risulta particolarmente interessante perché permette di rappresentare i numeri naturali in una forma diversa dall’usuale forma decimale. Vediamo un esempio; il numero $10$ può essere visto come

cioè come somma di $F_6$ ed $F_3$. Si potrebbe anche usare la scomposizione

ma in questo caso non sono rispettate le ipotesi del teorema in quanto $5$ e $3$ sono numeri di Fibonacci consecutivi. In questo modo si può rappresentare un qualsiasi numero naturale con una serie di $1$ e $0$ (da non confondere con lo sviluppo in base binaria) che indicano quali numeri di Fibonacci costituiscono il suo sviluppo (a partire da $F_2$). Nel caso di $10$ si ottiene per esempio $10010$ (una variante di questa rappresentazione è molto utile in ambito informatico).

La dimostrazione del teorema non è particolarmente difficile (potete provare a seguire i due riferimenti che vi ho messo all’inizio) ed anzi è istruttiva: suggerisco una possibilità, se $n$ è un naturale, si può prendere il massimo numero di Fibonacci più piccolo o uguale a $n$, lo si sottrae ad $n$ e si prosegue iterativamente nello stesso modo con il risultato della sottrazione fino a quando non si ottiene $0$. Provate con qualche esempio e vedrete che funziona (così non è una dimostrazione, sto solo suggerendo una strada).

Se ne avete voglia uno di questi giorni riprendiamo il discorso. Un caro saluto, prof.

P.S. Riguardo ai jeans strappati ed alla polemica sul decoro che nei giorni scorsi si è alimentata per qualche tempo, sapete come la penso sulla forma esteriore. Le mode (con il loro corollario su ciò che è conveniente e sconveniente, decente o indecente) sono accidenti del tempo la cui durata riguarda una singola generazione e forse meno; per questo sono più interessato all’universalità delle idee e dell’anima (in senso platonico). Ad essere sincero mi preoccupano molto di più gli strappi nel tessuto sociale e nel vissuto di voi ragazzi e ragazze che non quelli che a volte si trovano sui vostri pantaloni. Ma ovviamente è solo un pensiero mio, non lo elevo a credo rivoluzionario, ognuno darà importanza alla parola decoro al meglio della propria sensibilità. Per quel poco che mi riguarda entrate in classe vestiti come meglio credete, con la misura, l’onestà e lo sguardo sereno che vi contraddistingue; il compito complesso che ci attende ogni giorno è di dare un abito degno alle idee.