Cara S.

spero tu stia bene, mi ha fatto piacere ricevere tue notizie e sono sicuro che in California ti troverai benissimo. Mi hai chiesto della strana immagine che hai visto ieri sul mio profilo, te la ripropongo qui di seguito.

Ho generato questa immagine dopo aver letto un interessante articolo online sulle somme esponenziali. Ma andiamo per gradi. Ricorderai che in classe (quanti anni sono passati?) abbiamo studiato i numeri complessi e la loro rappresentazione grafica sul piano di Argand-Gauss dove in ascissa si mette la parte reale ed in ordinata la parte immaginaria. Ricorderai inoltre che i numeri complessi di modulo $1$ (cioè la cui distanza dall’origine del piano è pari a $1$) si possono scrivere in forma esponenziale come $e^{i\theta}$ dove $\theta$ è l’angolo in senso antiorario formato con l’asse delle $x$. Ricorderai infine che si chiamano radici ennesime di $1$ tutti i numeri complessi $z$ tali che $z^n = 1$. Siccome $1$ è pari a $e^{i0}$ e, per periodicità, a $e^{i2\pi}$ e più in generale a $e^{i2\pi k}$ con $k$ intero, è facile vedere che le $n$ radici ennesime di $1$ sono nella forma

con $k\in [0,1,\ldots,n-1] $.

Se ricordi abbiamo dimostrato in classe che queste radici si dispongono secondo i vertici di un poligono regolare centrato nell’origine. Per esempio le $8$ radici ottave di $1$ sono rappresentate dai vertici del seguente ottagono:

Cosa succede se sommiamo le radici di $1$? Intanto se le sommiamo tutte è facile vedere (ricordi?) che si ottiene $0$.

Come esercizio puoi dimostrare che le somme parziali si dispongono di nuovo sui vertici di un poligono che parte e ritorna in $0$; in figura l’esempio con le radici ottave.

Inoltre continuando a sommarle, siccome si riparte da zero, si ripassa attraverso gli stessi punti.

Dunque, le somme parziali della seguente sommatoria

si dispongono su un poligono regolare di $k$ lati. Cosa succede se invece di moltiplicare per $k/n$ uso una funzione più complicata? Eccoci arrivati alle somme esponenziali complesse, definite come

con $f(k)$ una funzione sugli interi. La figura che si ottiene dalle somme parziali, che in generale non sarà più un semplice poligono, dice molto sulla funzione $f$ scelta ed è uno strumento di analisi molto interessante in teoria dei numeri. Ai fini dell’immagine di partenza ho usato, come suggerito nel link che ti ho messo all’inizio, la seguente somma esponenziale

con $g$ il giorno della mia nascita, $m$ il mese (in numero) e con $a$ l’anno. Il risultato è la figura all’inizio di questa mia lettera. Ovviamente non c’è nulla di particolare nella data del mio compleanno (dalla simmetria della figura riesci a capire il giorno?), a titolo di esempio ecco cosa viene fuori per il 25 dicembre del 2019.

Spero ti venga voglia di esplorare autonomamente questo tipo di territorio, se ti va prova a mandarmi la figura corrispondente alla tua data di nascita.

Un caro e sincero saluto, prof.