Sapiente è chi getta luce nell'oscurità,
chi scioglie i nodi, chi manifesta l'ignoto,
chi precisa l'incerto.

Giorgio Colli




Caro R, ti scrivo poche righe in questi giorni di assenza, mia e tua. Ho parlato con i tuoi genitori, ho visto le mani di tuo padre e gli occhi di tua madre, luoghi senza pace, testimoni anche loro del tuo mancare. Quando il tuo banco è vuoto non preoccupa la necessaria giustificazione, ma la motivazione a tornare. Ed alle volte, caro R., è vuoto il banco anche se ci sei tu. Lo so che non è semplice, ma da qualche parte dobbiamo ricominciare un dialogo interrotto, come ho detto ai tuoi non mi sottraggo, queste parole sono un tentativo di convincerti a non farlo nemmeno tu. Recentemente ho letto un bel libro di Roland Barthes sulla differenza tra udire ed ascoltare, l’ho trovato per caso, un ricongiungimento inatteso. Ascoltare non è forse il primo passo di tutto questo? Per educare, formare, valutare, preparare? Sapessi R. i dubbi che ogni singolo giorno (e notte) mi divorano. Senza sosta. Non siete solo voi a poter inciampare, costruisco interi continenti con la mia insonnia passata ad arrovellarmi, imperi del dubbio, dinastie del ripensamento. Ascoltare, dicevamo. E udire. Ecco, posso udirti tutti i giorni, ma mi manca ascoltarti. Quindi eccomi qui a provare, come tante altre volte, a colmare lo spazio nell’unico modo che conosco, parlandoti di matematica sperando tu possa ascoltare me in questo asimmetrico luogo di condivisione.

Anticipo alcune cose che vedremo nel dettaglio, ma te le scrivo perché tempo fa hai dimostrato curiosità sulla serie di Fibonacci, a cui arriverò in un attimo. Immagina di avere un punto $P$ sul piano con coordinate intere $(x,y)$. Immagina quindi di trasformare questo punto in un nuovo punto $P’$ di coordinate $(x’,y’)$ secondo questa legge

Limitiamoci a considerare i numeri $a b c d$ come interi; questo è un caso particolare di trasformazione lineare del piano. L’ideale sarebbe usare le matrici (tolte ormai da tempo dalle indicazioni nazionali per i licei), ma per questo nostro breve ascoltarci possiamo farne a meno. Questa trasformazione si chiama lineare perché è facile vedere (ci risiamo, una frase che andrebbe abolita, prova a vedere se riesci, se no chiedimi in classe) che se le coordinate di $P$ vengono moltiplicate per una costante anche le coordinate di $P’$ vengono moltiplicate per la stessa costante (suggerimento, distribuzione del prodotto sulla somma). Inoltre se sommiamo le coordinate di due punti (ti ricordi i vettori visti in prima? Spero di sì) il punto ottenuto con la trasformazione risulta la somma dei due punti trasformati separatamente.

Siccome la trasformazione che abbiamo scritto sopra è generica, possiamo applicarla nuovamente al punto $P’$ ottenendo un terzo punto $P’’$; e ovviamente la cosa può andare avanti, si può trasformare ciascun punto ottenuto al passo precedente. Si viene così a creare una sequenza di punti sul piano (nel nostro caso tutti di coordinate intere) che prende il nome di orbita della trasformazione. Ad ogni punto di partenza $P$ corrisponde una sua orbita; come esercizio sapresti trovare l’orbita dell’origine del piano?

Bene, cosa ha a che fare tutto questo con Fibonacci? Arriviamo al punto centrale del nostro discorso, considera la trasformazione lineare data da

dunque con $a=0$, $b=c=d=1$; studiamo l’orbita che parte dal punto $P$ di coordinate $(1,1)$. Otteniamo (indovina? Esatto, esercizio)

Notiamo due cose evidenti (sicuro lo siano?): primo l’orbita risulta senza fine, possiamo andare avanti senza tornare mai indietro, secondo le coordinate dei punti dell’orbita seguono in modo evidente la successione di Fibonacci vista in classe

dove ogni termine è la somma dei due precedenti; questo dovrebbe renderti chiaro perché la nostra trasformazione lineare genera proprio tale successione con la $x$ e la $y$ sfasate di un termine. Se ricordi quando vi ho parlato della successione di Fibonacci vi ho detto che i termini sono tali che il rapporto

(indico con $F_i$ l’i-esimo termine della successione) tende ad un valore storicamente importante, la sezione aurea

In classe abbiamo visto un ragionamento plausibile, anche se non rigoroso; usando le proprietà della successione abbiamo

da cui, con alcuni passaggi algebrici

Ipotizzando che il rapporto tra un termine ed il precedente tenda ad un valore $\phi$ quando $i$ tende all’infinito (l’anno prossimo vedremo tutto con i dettagli giusti), si ottiene l’equazione

Quanto tempo abbiamo dedicato a questa equazione ed alla nascita degli alogoi? Spero tu possa ricordare, di fatto la soluzione di questa equazione di secondo grado fornisce due valori, la sezione aurea e l’opposto del suo reciproco.

Possiamo chiederci se riusciamo a dare una dimostrazione geometrica di quanto abbiamo detto, ed ovviamente la risposta è sì. Disegniamo infatti i punti dell’orbita di cui abbiamo parlato prima e la retta passante per l’origine di coefficiente angolare $\phi$ (in blu l’orbita, in nero la retta)

Come vedi i punti sembrano tendere rapidamente verso la retta, mostrando geometricamente come il rapporto tra $y$ e $x$ (che ti ricordo sono elementi successivi di Fibonacci) tende al coefficiente della retta, ovvero $\phi$. La cosa interessante è che se faccio il grafico con un’altra orbita ottenuta partendo da un altro punto, $(2,1)$ per esempio, l’andamento appare simile (in rosso l’orbita, in nero sempre la retta)

Sembra dunque che la sequenza di Fibonacci non sia l’unica che fornisca al limite la sezione aurea; ogni sequenza di interi in cui un elemento è la somma dei due precedenti ha il rapporto tra elementi successivi che tende alla sezione aurea $\phi$. Risultato notevole. Riusciamo a dimostrarlo un po’ meglio? Ti chiedo un ultimo sforzo, l’idea è semplice.

Intanto notiamo che i punti della retta $y=\phi x$ vengono trasformati in punti che giacciono ancora sulla retta (si dice che la retta è unita o anche che è un sottospazio invariante); infatti il punto $ (k, \phi k)$, che appartiene alla retta, viene trasformato (esercizio) nel punto $\phi(k,\phi k)$ ed è immediato verificare che anche questo appartiene alla retta. Siccome $\phi$ è maggiore di $1$, il punto trasformato si allontana dall’origine. Possiamo riassumere dicendo che le orbite per punti che appartengono alla retta sono interamente appartenenti alla retta e tendono ad allontanarsi dall’origine.

Un analogo ragionamento si può fare con la retta perpendicolare a quella data, ovvero $y=-\frac{1}{\phi} x$; i punti su questa retta generano orbite che giacciono sulla retta stessa, ma questa volta tendono ad avvicinarsi all’origine. Infatti il punto $(k,-\frac{1}{\phi}k)$ della retta viene trasformato nel punto $-\frac{1}{\phi}(k, -\frac{1}{\phi}k)$ che appartiene evidentemente ancora alla retta; siccome $-\frac{1}{\phi}$ è un numero in modulo minore di $1$, il punto si avvicina all’origine (il segno meno significa che inoltre il punto salta dalla parte opposta dell’origine rispetto al punto di partenza).

Siamo finalmente arrivati in fondo, possiamo mettere tutto insieme quel che abbiamo visto. Prendi un punto $P$ del piano e proiettalo sulle due rette perpendicolari $y=\phi x$ e $y=-\frac{1}{\phi}$; per quanto visto all’inizio sulla linearità, trasformare $P$ significa trasformare le due proiezioni ottenendo che quella perpendicolare alla retta $y=\phi x$ diventi più vicina all’origine; d’altra parte la lunghezza di questa proiezione è la distanza dalla retta stessa e diventando questa sempre più piccola (ricordi il fattore $-\frac{1}{\phi}$ i punti dell’orbita si avvicinano sempre di più alla retta con coefficiente angolare $\phi$ e quindi il rapporto tra la loro $y$ e la loro $x$ tende al rapporto aureo, indipendentemente dal punto di partenza.

Mi fermo qui, abbiamo visto un risultato importante dandone un’interpretazione in termini di orbite sul piano di trasformazioni lineari. Come ti accennavo il linguaggio corretto sarebbe quello delle matrici (abbiamo essenzialmente parlato di nascosto della diagonalizzazione di una matrice e dello studio della dinamica sui suoi autovettori); questo è un ambito della matematica molto interessante e vasto, purtroppo quasi del tutto escluso da quel che si fa a scuola. Per questo ho voluto parlartene, un piccolo dono (ingenuo, son d’accordo) che difficilmente troverai altrove sul tuo percorso.

Tu hai letto me, rendimi il favore, cercami per parlare (non di matematica necessariamente) e rendi simmetrico questo semplice e meraviglioso gesto dell’ascolto. Sai dove trovarmi, in ogni momento.

Un caro saluto, prof.