[...] Uno spazio di tempo
lungo alcuni minuti
largo cinquantott'anni.
Tomas Tranströmer




Caro Francesco, ti scrivo questa breve lettera dopo un silenzio durato mesi che sembrano anni. Mai come in questo periodo il tempo è sembrato inessenziale e forse anche per questo ho deciso di riprendere il discorso che avevamo iniziato sulla relatività. In una mia precedente lettera, se ricordi, abbiamo parlato delle necessità storiche e logiche che portarono Einstein a rivedere alcuni concetti fondamentali come il tempo, lo spazio, il concetto di simultaneità. Vorrei quindi provare a mostrarti in modo semplice e non tecnico un ragionamento che ci porterà nel cuore del problema del tempo. Non pretendo di fare molto in questa tardiva lettera piena di scarabocchi, ma l’intento è di farti vedere come partendo da alcune ipotesi e seguendo un ragionamento logico (anche se non eccessivamente formalizzato), sia una conseguenza naturale e obbligata rivedere la nostra idea ingenua di tempo. Prometto che utilizzerò pochissima matematica.

Il punto di partenza sono i due postulati che Einstein enuncia nel suo articolo del 1905 e che riporto parafrasandoli leggermente

  • P1: le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali1.
  • P2: la velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali indipendentemente da come la luce viene generata o rilevata.

Per aiutarci nei ragionamenti successivi farò uso di alcuni diagrammi spaziotemporali in due dimensioni (per semplificare) in cui lo spazio è riportato orizzontalmente e il tempo verticalmente. Sottolineo però da subito che tali diagrammi avranno solo il valore di una guida al ragionamento, non userò alcuna proprietà geometrica del piano su cui vengono disegnati. Se avrò modo mi piacerebbe scriverti una futura lettera in cui esplicitare il discorso dal punto di vista geometrico, ma in questa semplice introduzione all’argomento mi basta solo avere un ausilio visuale.

Un esempio di diagramma spaziotemporale è il seguente:

Sono rappresentati tre osservatori inerziali con tre rette etichettate con i numeri $1$, $2$ e $3$. Prendono il nome di linee d’universo degli osservatori e per quelli inerziali si usa disegnarle come rette. Devi immaginare che ogni punto del piano rappresenta un evento, ovvero una particolare posizione nello spazio ad un determinato tempo. Non volendo introdurre però pregiudizi sulla natura del tempo (in fondo è proprio lo scopo di questa lettera metterne in discussione la nostra visione quotidiana) ipotizziamo solo che ogni osservatore inerziale disponga di un orologio arbitrariamente preciso con cui può misurare il tempo e che tutti gli orologi siano equivalenti. Nel diagramma noterai che gli osservatori $1$ e $2$ sono rappresentati da rette parallele. Questo vuol dire che non si incontreranno mai e quindi possiamo ipotizzare che siano fermi uno rispetto all’altro o, che è equivalente, che abbiano una velocità relativa nulla. L’osservatore $3$ invece, ad un certo tempo si trova a sinistra di entrambi, poi incontra l’osservatore $1$ (evento A) e passa alla sua destra, poi incontra l’osservatore $2$ (evento B) e passa alla sua destra. In definitiva possiamo dire che l’osservatore $3$ è in moto rispetto agli altri due osservatori e tra gli eventi A e B si allontana da $1$ e si avvicina a $2$. Spero che con questo esempio ti sia chiaro l’uso dei diagrammi, come vedrai tra un attimo sono molto utili. Noterai infine che non ho fatto alcuna ipotesi su quale sia la velocità di $2$ rispetto agli altri, ma essendo inerziale sappiamo che è costante e questo ci basta.

Ora che abbiamo rotto il ghiaccio proviamo a guardare alla situazione rappresentata dal seguente diagramma spaziotemporale:

Abbiamo due osservatori inerziali $1$ e $2$ che si incontrano ad un certo punto, l’evento O. Immaginiamo che nel momento dell’incontro entrambi sincronizzino i loro orologi, per esempio assegnando (arbitrariamente) il valore $0$ al tempo dell’incontro. Gli orologi dei due osservatori sono quindi sincronizzati all’evento O. Notiamo inoltre che non importa sapere quale dei due è fermo e quale si muove, dopo l’evento O si stanno allontanando uno dall’altro a velocità costante. Ad un certo punto (evento A) l’osservatore $1$ spara un raggio di luce verso l’osservatore $2$. Per convenzione rappresentiamo i raggi di luce con rette tratteggiate. Il raggio di luce raggiunge l’osservatore $2$ (evento B), si riflette e torna indietro raggiungendo quindi l’osservatore $1$ (evento C). Riassumendo abbiamo quattro eventi importanti

  • O: i due osservatori occupano la stessa posizione allo stesso tempo, cioè si incontrano; è il momento in cui entrambi mettono al valore $0$ il tempo dei rispettivi orologi
  • A: $1$ invia un raggio luminoso verso $2$
  • B: il raggio luminoso raggiunge $2$; a questo punto le parti si invertono ed è come se $2$ inviasse un raggio luminoso verso $1$
  • C: il raggio luminoso inviato da $2$ raggiunge $1$.

Nota come io utilizzi dei segmenti rettilinei anche per i raggi luminosi perché vanno, nel vuoto, a velocità costante. Non è importante quale sia l’inclinazione di tali segmenti, quando e se ti scriverò sugli aspetti geometrici ne riparleremo. Nota infine che affinché il tutto abbia senso il raggio inviato da $1$ deve raggiungere $2$, quindi $2$ deve muoversi ad una velocità minore della luce.

Bene, andiamo avanti. Indichiamo con $t_1$ e $t_2$ i tempi misurati dall’orologio di $1$ per gli eventi A e C rispettivamente. Indichiamo invece con $\tau$ il tempo dell’evento $B$ misurato con l’orologio di $2$.

Il mio scopo è di mostrarti che le relazioni tra questi tempi non sono quelle che probabilmente ti aspetti.

Iniziamo con il notare che $\tau$ dipende solo da $t_1$ e dalla velocità di allontanamento di $2$ da $1$; in particolare spero di convincerti che il rapporto $\tau/t_1$ dipende solo da tale velocità, ovvero che le due grandezze $\tau$ e $t_1$ sono direttamente proporzionali. Infatti se raddoppiassi, per esempio, $t_1$ vorrebbe dire emettere il raggio di luce quando $2$ si trova al doppio di distanza (ricorda che il moto uniforme è lineare nel tempo) e quindi anche il tempo di viaggio deve raddoppiare. So che non è una dimostrazione formale, ma prova, partendo da questo esempio, a pensarci e ti convincerai che il rapporto $\tau/t_1$ dipende solo dalla velocità di allontanamento. Ma allora obbligatoriamente questo rapporto sarà uguale al rapporto $t_2/\tau$; infatti la situazione è del tutto simmetrica, il raggio da A a B è emesso da un osservatore inerziale ad un altro osservatore inerziale che si allontana ed il raggio da B a C è emesso da un osservatore inerziale ad un altro osservatore inerziale che si allontana con la stessa velocità (la velocità con cui $2$ si allontana da $1$ è la stessa con cui $1$ si allontana da $2$). In altre parole, per P1 si deve avere

\[\frac{\tau}{t_1} = \frac{t_2}{\tau}\]

da cui si ottiene facilmente

\[\tau = \sqrt{t_1 t_2}\]

Da notare che in realtà abbiamo usato anche P2 in quanto per dire che la situazione dei due raggi è simmetrica dobbiamo usare il fatto che il raggio di ritorno (da B a C per intenderci) deve andare alla stessa velocità del raggio di andata (da A a B) per entrambi gli osservatori.

Il risultato ottenuto è estremamente interessante e ora vedremo perché; rappresenta il tempo segnato dall’orologio di $2$ per l’evento B. Nota che è pari alla media geometrica di $t_1$ e $t_2$. Chiediamoci ora quale tempo può ragionevolmente assegnare all’evento $B$ l’osservatore $1$ e scopriamo che incredibilmente non coincide con quanto abbiamo appena ottenuto.

Infatti dal punto di vista di $1$ abbiamo un raggio di luce che parte e ritorna e che si muove alla stessa velocità sia all’andata che al ritorno. Risulta quindi legittimo per $1$ immaginare che l’evento $B$ sia simultaneo all’evento D che si trova esattamente a metà strada tra A e C, come nel diagramma che segue

L’evento D avviene esattamente a metà strada tra A e C e dunque avverrà al tempo $t$ dato da

\[t = \frac{t_1 + t_2}{2}\]

che è la media aritmetica tra $t_1$ e $t_2$.

Riassumendo

  • Per l’osservatore $2$ l’evento B avviene ad un tempo $\tau$ che è la media geometrica di $t_1$ e $t_2$;
  • Per l’osservatore $1$ l’evento B avviene ad un tempo T che è la media aritmetica di $t_1$ e $t_2$.

Come ben sai un noto teorema elementare ci dice che la media geometrica tra due numeri è sempre minore della loro media aritmetica e le due medie coincidono solo se i due numeri sono uguali2; nel nostro caso $t_1=t_2$ vuol dire che A e C coincidono con B e dunque i due osservatori sono fermi uno rispetto all’altro. Dunque se i due sono in movimento relativo, si deve avere per forza $T>\tau$; avendo sincronizzato gli orologi in O questa differenza di tempi non può essere imputata ad altro che ad un diverso scorrere del tempo in $1$ e $2$.

Ecco il risultato finale a cui siamo giunti: se due osservatori inerziali si muovono uno rispetto all’altro, il tempo scorre diversamente per loro.

Chiudo con alcune considerazioni finali e una promessa. Prima di tutto ribadisco di non aver fatto un discorso matematicamente rigoroso, ma spero logicamente accettabile. Lo scopo di tutto questo mio parlare e cercare di convincerti che se crediamo in alcuni postulati iniziali (motivati da ragioni storiche ed estetiche come abbiamo discusso nella precedente lettera) ne consegue in modo abbastanza (lascio aperto il dubbio per domande) inequivocabile che la natura del tempo è molto diversa da quello che abitualmente crediamo.

Secondo, abbiamo anche dimostrato, al passaggio, un altro fatto importante che forse ti è sfuggito. Per l’osservatore $1$ gli eventi B e D sono simultanei mentre per l’osservatore $1$ l’evento B avviene prima di D. Dunque non solo il tempo scorre diversamente per i due osservatori, ma eventi che sono simultanei per uno sono invece sequenziali per l’altro. Potrebbe venirti il dubbio che ci possa essere un problema di causa ed effetto (per un osservatore B precede D, ma non per l’altro osservatore), ma come spero di dimostrarti in una futura lettera le cose da quel punto di vista sono del tutto coerenti con il principio di causalità.

Terzo, esistono altre due importanti conseguenze del semplice risultato che abbiamo ottenuto, conseguenze che cambiano il nostro modo di vedere lo spazio e le velocità. Si può infatti dimostrare che a causa della semplice disuguaglianza $T>\tau$ ottenuta sopra le misure di distanza spaziale per i due osservatori non coincidono, se un oggetto viene misurato con una determinata lunghezza da $1$, l’osservatore $2$ vedrà un risultato diverso per la stessa misura. Inoltre si può dimostrare che il risultato ottenuto indica (non implica) che ci debba essere una velocità limite oltre la quale nessun osservatore inerziale può andare. Entrambi questi risultati sono importanti ed interessanti, ma temo di aver già abusato abbastanza del tuo tempo e della tua paziente attenzione, sono giorni difficili anche per te, lo so.

Quarto, con il ragionamento contenuto in questa lettera non possiamo ancora fare calcoli quantitativi, abbiamo ottenuto una disuguaglianza importante, ma non operativa.

Se vorrai e se troverò le energie per farlo, ti mostrerò come portare avanti il discorso in termini quantitativi e, perché no, anche geometrici. Questa è la promessa di cui parlavo.

Adesso ti devo lasciare, tua sorella si è svegliata e temo che sarà un’altra notte un po’ in salita. Spero di vederti presto.

Un abbraccio senza tempo, papà.

P.S. Un’ultima cosa. Immagina di avere due numeri reali $x$ e $y$ entrambi positivi. Se definiamo

\[v = \frac{x-y}{x+y}\]

allora è facile mostrare che il rapporto tra la media aritmetica e la media geometrica è

\[\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\]

Come suggerimento parti dal dimostrare che $xy$ si può scrivere come la differenza dei quadrati della semisomma e della semidifferenza di $x$ e $y$. Il resto è algebra. Questa relazione dimostra che la media geometrica è sempre minore di quella aritmetica (tranne che nel caso $x=y$) e inoltre ne fornisce un esplicito rapporto in termini di $v$. Ti lascio immaginare come questo entri nel discorso di queste due lettere. Un abbraccio.

  1. Non voglio appesantire il testo ulteriormente con questo tipo di considerazioni; un sistema di riferimento si dice inerziale se vale il principio di inerzia, ovvero se un corpo lasciato in quiete o in moto rettilineo uniforme permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. La teoria di cui parliamo in questa lettera si limita ai soli sistemi inerziali e per questo viene spesso definita “speciale” o “ristretta”. Se avrò occasione di scriverti ancora mi piacerebbe però mostrarti come in realtà si possa superare questo limite della teoria. Infine bisognerebbe forse aggiungere un principio zero; è infatti facile dimostrare che se un sistema di riferimento è inerziale allora ogni altro sistema di riferimento che si muova di moto rettilineo uniforme rispetto a questi è anch’esso inerziale. Ma chi ci garantisce che ne esiste uno? Dobbiamo quindi immaginare di postulare che esista almeno un riferimento inerziale e da questo possiamo poi dedurre che ne esistono in realtà infiniti. Sono questioni però irrilevanti per quel che segue. 

  2. Perché non provi a dimostrarlo in un pomeriggio di pioggia? Non è difficile e ti può tornare utile anche in altri contesti.