Distrazione Aritmetica

O è banale, o è già stato fatto, o è sbagliato

– Anonimo

Nelle poche righe che seguono cercherò di dimostrare in modo semplice ¹ alcune proprietà dei numeri razionali che portano ad un risultato piuttosto noto. L’intento è pedagogico e non di ricerca e l’epigrafe riportata ne rappresenta lo spirito; esistono in letteratura e sui libri scolastici dimostrazioni dello stesso fatto molto più brevi. L’idea è però che alle volte una passeggiata su strade non battute possa distrarre dal quotidiano (come ci insegna Robert Frost). Non vi è pretesa di originalità, l’unico valore di questa minuscola fatica è proporre spunti di possibile approfondimento e di esercizio personale a studenti e studentesse.

Definiamo due particolari funzioni su \(\mathbb{R}\), nel seguente modo

\[ D(x) = x + 1 \] \[ S(x) = \frac{x}{x+1} \]

Se le restringiamo ai numeri razionali positivi non nulli ² \(p/q\) assumeranno questa forma:

\[ D\left(\frac{p}{q}\right) = \frac{p+q}{q} \] \[ S\left(\frac{p}{q}\right) = \frac{p}{p+q} \]

Si vede facilmente che entrambe le funzioni sono chiuse su \(\mathbb{Q}^+_0\), ovvero il loro risultato se calcolate su un numero razionale positivo non nullo è ancora un numero razionale positivo non nullo.

Valgono allora le seguenti proposizioni³:

Proposizione 1

Se \(x\in\mathbb{Q}^+_0\) è ai minimi termini, allora anche \(D(x)\) e \(S(x)\) lo sono. Dim Il numero razionale positivo non nullo \(p/q\) è ai minimi termini se \(p\) e \(q\) sono primi tra loro, ovvero \(1\) è l’unico divisore comune. Si vede subito che se \(p\) e \(q\) sono primi tra loro allora lo sono anche con la loro somma. Infatti supponiamo che \(p+q\) e \(q\), per esempio, abbiano un divisore comune \(b\) diverso da \(1\); allora \(p+q = bk\) e \(q=bh\) e dunque \(p+bh=bk\) da cui segue \(p = b(k-h)\). Ma allora \(b\) è anche divisore di \(p\), contraddicendo l’ipotesi che \(p\) e \(q\) sono primi tra loro. Da questo risultato ne discende che \(D(p/q)\) e \(S(p/q)\) sono ridotti ai minimi termini se lo è \(p/q\).

QED

Immaginiamo adesso di comporre le funzioni \(D\) e \(S\) tra di loro in una sequenza arbitraria; per esempio \(D(S(S(x)))\) è una sequenza in cui si calcola \(S\) sul numero \(x\), il risultato lo si usa come argomento di \(S\) e il risultato di quest’ultima si usa come argomento di \(D\). Si possono immaginare sequenze arbitrariamente lunghe.

Proposizione 2

Se \(x\in\mathbb{Q}^+_0\) e \(T\) è una qualsiasi sequenza di \(D\) e \(S\), allora \(T(x) \neq x\).

Dim Intanto è facile verificare che la somma di numeratore e denominatore di un numero razionale positivo non nullo aumenta se applichiamo \(D\) o \(S\). Infatti, per esempio,

\[ D\left(\frac{p}{q}\right) = \frac{p+q}{q} \]

e \(p+q+q > p+q\). Analogamente per \(S\). Quindi se applichiamo a \(x\) una sequenza \(T\) di \(D\) e \(S\) avremo che la somma di numeratore e denominatore di \(T(x)\) sarà strettamente maggiore della somma di numeratore e denominatore di \(x\). Ma allora \(T(x)\) non può essere uguale a \(x\) in quanto essendo entrambi razionali positivi non nulli ai minimi termini (per la Proposizione 1), se fossero uguali dovrebbero avere numeratori e denominatori uguali ma con somme differenti, cosa impossibile.

QED

Per inciso questo significa che se applichiamo una sequenza arbitrariamente lunga di \(S\) e \(D\) a partire da un numero razionale positivo non nullo \(x\), la sequenza di risultati non è periodica, ovvero non passa mai due volte sullo stesso valore.

Proposizione 3

\[\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}^+_0\]

Dim Supponiamo che \(\sqrt{2}\) sia un numero razionale positivo non nullo. Si vede da calcolo diretto che \(D(S(S(D(\sqrt{2})))) = \sqrt{2}\), ma questo contraddice la Proposizione 2. Dunque \(\sqrt{2}\) non è un numero razionale.

QED

Analoga dimostrazione vale probabilmente per ogni irrazionale algebrico.