Carissima A, ti scrivo queste poche righe in questa lunga pausa dal reale che molti chiamano estate. Ci sei mancata a scuola, abbiamo a lungo guardato il tuo banco temporaneamente vuoto, lo abbiamo immaginato abitato, siamo rimasti serenamente in attesa. Mi piace la parola temporaneamente, odora di futuro, di cambiamento, di risalita. Settembre è vicino, non abbiamo fretta, quando tornerai riprenderemo il discorso nel punto esatto in cui lo abbiamo interrotto.

Nella mia ultima email ti avevo promesso di scriverti qualcosa di bello. Ci ho pensato a lungo e quando qualche giorno fa mi sono imbattuto per caso (che è l’unica bandiera che sento mia) in una dimostrazione, ho pensato a te. Non è una dimostrazione particolarmente bella, a dire il vero. E non è nemmeno una scoperta originale, come ho scoperto poco dopo esserci arrivato. Ma come tutte le strade meno battute ha il merito di costare un po’ di fatica e di regalare orizzonti più ampi.

Voglio quindi dimostrarti che \(\sqrt{2}\) è un numero irrazionale. Per farlo dovrò introdurre alcune idee che non fanno parte dell’usuale matematica di seconda. Ma siccome non sono tuo insegnante di matematica mi sento libero dal peso di dover seguire strade consolidate; possiamo per un attimo liberarci dei vincoli (reali o immaginari) di un percorso scolastico e parlare liberamente per il solo piacere di scoprire cose nuove.

L’irrazionalità della radice di \(2\) è un passaggio fondamentale nella storia della matematica, esistono tantissime (infinite forse) dimostrazioni a partire da quella storica di Ippaso di Metaponto che per qualche motivo a me oscuro non viene quasi mai proposta a scuola (la mia preferita rimane quella di Estemann).

La dimostrazione che ti propongo in questa lettera non è la migliore, non è la più elegante, non è la più semplice o la più breve. Ma non la troverai facilmente (era sfuggita anche a me in un primo momento tanto da essermi stupidamente convinto di aver trovato qualcosa di nuovo) e questo la rende ricca di possibili (mi auguro) approfondimenti e suggestioni.

Ma andiamo con calma. Cosa sia la radice quadrata di \(2\) dovresti saperlo da un po’, è quel numero positivo che moltiplicato per sé stesso restituisce \(2\). O, è la stessa cosa, è quel numero positivo che elevato al quadrato fa \(2\). Niente di più semplice. Cosa significa che \(\sqrt{2}\) è irrazionale (che è esattamente quello che voglio dimostrarti)? Significa semplicemente che non è razionale, cioè non può essere espresso come rapporto (ratio) tra due numeri naturali (interi positivi, se preferisci). Una conseguenza di questo fatto, che studierai quest’anno, è che da questo si dimostra che lo sviluppo decimale di \(\sqrt{2}\) è infinito non periodico, quindi sostanzialmente è un numero inconoscibile (alogoi, li chiamavano i greci antichi). Studierai anche che di numeri irrazionali ce ne sono infiniti e giocano un ruolo fondamentale nell’architettura della matematica.

Qui però siamo interessati a questo semplice fatto, non è possibile esprimere \(\sqrt{2}\) come rapporto tra interi positivi. Cioè non è possibile scrivere

\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b}\]

con \(a\) e \(b\) numeri naturali.

Per farlo ti mostrerò una struttura matematica molto semplice e affascinante, detta albero di Calkin-Wilf, che contiene esattamente tutti i numeri razionali e ti dimostrerò che \(\sqrt{2}\) non può appartenere a tale struttura e dunque non è razionale.

Pronta? Iniziamo. Dato un qualunque numero razionale positivo \(a/b\) (d’ora in poi ometterò di specificare positivo, lavoreremo esclusivamente con numeri positivi) definiamo due operazioni nel seguente modo:

\[ D\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{a+b}{b} \]

\[ S\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{a}{a+b}\]

Entrambe queste due operazioni (tecnicamente si chiamano funzioni, studierai a breve) prendono un numero razionale e restituiscono un nuovo numero razionale. Possiamo rappresentarle visivamente in questo modo (\(D\) va a destra e \(S\) a sinistra):

Questo è quello che in matematica si chiama un albero costituito da alcuni nodi (in questo caso tre) collegati da dei rami (in questo caso due). Dunque dal nodo \(a/b\) partono due rami che portano ai due nodi \(a/(a+b)\) e \((a+b)/a\). In gergo questi due nodi si chiamano figli mentre il nodo di partenza si chiama padre.

Un primo risultato facile da verificare è che \(D(x)>x\) e \(S(x)<x\) da cui si deduce immediatamente che i due figli di un nodo sono diversi tra loro (ricorda questo risultato perché ci servirà tra poco).

A questo punto è possibile estendere l’albero partendo dai figli ed applicando le operazioni \(D\) e \(S\) viste sopra; questa estensione può essere fatta quante volte si vuole, al limite anche all’infinito. Se il numero di partenza da cui far partire l’albero è la frazione \(1/1\) (cioè il numero \(1\)), si ottiene un albero infinito che prende il nome di albero di Calkin-Wilf. Eccone i primi livelli:

Perché è importante tale struttura (se sei interessata, qui trovi l’articolo originale)? Semplice, si dimostra facilmente (lo farò tra un attimo) che tale albero contiene esattamente tutti i numeri razionali. Inoltre questa particolare disposizione possiede molte proprietà interessanti, se ci sarà modo e tempo ne parleremo in futuro.

Per poterti mostrare che ogni razionale appartiene all’albero conviene introdurre un’ulteriore operazione su razionali che in qualche modo è l’inversa delle operazioni \(D\) e \(S\) introdotte prima. Chiamiamola \(\phi\) e definiamola nel seguente modo

\[ \phi(\frac{a}{b}) = \begin{cases} \dfrac{a}{b-a} & se & b>a \\ & & \\ \dfrac{a-b}{b} & se & a>b \end{cases} \]

Penso ti sarà facile convincerti che effettivamente \(\phi\) risale l’albero a ritroso, calcolandola su un numero razionale positivo diverso da \(1\) ne restituisce il padre. Fai pure qualche prova tu stessa, vedrai che è così.

A questo punto è possibile mostrare un risultato fondamentale e che ci permetterà di ottenere tutti gli altri. Se applico \(\phi\) ad un razionale \(a/b\) ottengo un nuovo razionale in cui o il numeratore o il denominatore è più piccolo. Se continuo ad applicare \(\phi\), numeratore e denominatore continuano a diminuire e siccome sono interi positivi ad un certo punto dovranno arrivare a \(1\) (questo risultato si può ottenere in modo rigoroso con il limite di successioni, ma sono cose che farai in quarta, per ora ti chiedo di fidarti dell’idea intuitiva che ti ho qui proposto). Riassumendo, applicando \(\phi\) un certo numero di volte partendo da un razionale positivo si arriva sempre a \(1\).

A questo punto possiamo dimostrare che l’albero di Calkin-Wilf contiene tutti i razionali. Supponiamo infatti per assurdo che non contenga un particolare razionale \(a/b\). Applicando \(\phi\) otteniamo un nuovo razionale che non deve essere contenuto nell’albero, altrimenti ci sarebbe anche \(a/b\) che ne è uno dei figli. Applicando il ragionamento a questo nuovo numero razionale e al successivo e così via arriviamo prima o poi al numero \(1/1\) ottenendo il risultato che \(1\) non deve appartenere all’albero. Ma noi sappiamo che \(1\) appartiene all’albero (è il nodo di partenza), quindi abbiamo appena trovato un assurdo. Se ipotizziamo che esista un \(a/b\) che non appartiene all’albero ne discende che nemmeno \(1/1\) deve appartenere; siccome questo non è possibile, non ci possono essere razionali che non siano contenuti nell’albero di Calkin-Wilf.

Non solo, si può anche dimostrare che tutti i razionali sono contenuti nell’albero nella loro forma ridotta ai minimi termini (puoi provare tu come esercizio, ti lascio un indizio: nella frazione \(a/b\) il MCD tra \(a\) e \(b\) non viene cambiato se applico \(\phi\).)

Infine possiamo dimostrare che non ci sono duplicati, cioè che non solo l’albero di Calkin-Wilf contiene tutti i razionali positivi, ma li contiene una ed una sola volta. La dimostrazione non è difficile, ma per non appesantire il contenuto di questa lettera lascio a te pensarci autonomamente, non dovesse riuscirti basta che me lo fai sapere e ti scrivo ancora.

Bene, siamo quasi arrivati all’irrazionalità di \(\sqrt{2}\), fammi prima riassumere quanto abbiamo ottenuto. Esiste un albero di numeri razionali, detto albero di Calkin-Wilf, che contiene tutti i numeri razionali positivi una ed una sola volta come propri nodi.

Adesso ti dimostrerò che \(\sqrt{2}\) non può appartenere a questo albero. Per farlo fammi riscrivere in forma più comoda i due operatori \(D\) e \(S\); infatti

\[D\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + 1 \]

da cui possiamo scrivere

\[ D(x) = x + 1 \]

Analogamente per l’altra operazione è facile mostrare che si ottiene

\[ S(x) = \frac{x}{x+1} \]

Adesso ipotizziamo che \(\sqrt{2}\) sia un numero razionale. Dunque si trova da qualche parte nell’albero di Calkin-Wilf. Applichiamo \(D\) per trovare il suo figlio a destra; otteniamo

\[D(\sqrt{2}) = \sqrt{2}+1\]

Adesso troviamo il figlio a sinistra di questo numero:

\[ S(\sqrt{2}+1)= \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

dove l’ultimo passaggio (la razionalizzazione) l’ho ottenuto moltiplicando e dividendo la frazione per \(2-\sqrt{2}\). Cerchiamo il figlio sinistro di questo nuovo numero:

\[S(\sqrt{2}/2) = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2+1}= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2} = \sqrt{2}-1\]

dove nuovamente l’ultimo passaggio si ottiene con razionalizzazione. Infine (promesso), cerchiamo il figlio a destra di quest’ultimo numero:

\[ D(\sqrt{2}-1) = \sqrt{2}\]

Abbiamo un problema: ipotizzando che \(\sqrt{2}\) sia razionale e quindi si trovi da qualche parte sull’albero, abbiamo trovato che muovendosi lungo i rami dell’albero (a destra, poi due volte a sinistra, infine di nuovo a destra) troviamo nuovamente \(\sqrt{2}\). Ma questo è impossibile, significherebbe che l’albero ci Calkin-Wilf contiene due copie dello stesso numero (anzi infinite perché posso ripetere di nuovo tutto il ragionamento). Dunque \(\sqrt{2}\) non può appartenere all’albero e quindi non è un numero razionale. Siamo di fronte ad un numero irrazionale (alogoi), che non può essere scritto come frazione \(a/b\).

Ci sarebbero ancora tantissime cose da dire, vedere, dimostrare. Ma temo di essermi già dilungato troppo. Ti lascio solo con un risultato che sembra interessante: se scrivo anche la funzione \(\phi\) in modo più generico come ho fatto per \(D\) e \(S\) (ti lascio i dettagli algebrici)

\[ \phi(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{1-x} & se & x<1 \\ & & \\ x-1 & se & x>1 \end{cases} \]

allora si vede che se applico \(\phi\) ripetutamente a \(\sqrt{2}\) torno ad un certo punto al valore di partenza \(\sqrt{2}\). Dunque sembra che \(\phi\) applicata ripetutamente ai razionali arrivi prima o poi a \(1\) (come abbiamo già discusso prima), se invece la applico agli irrazionali questo non succede. Una funzione che in qualche modo può essere usata (lo abbiamo fatto in un certo senso anche noi qui sopra) per determinare se un numero sia razionale o irrazionale (o almeno sia un irrazionale sotto forma di radicale).

Ho davvero esagerato e ti chiedo scusa. Dimentica pure tutta la matematica di cui ti ho parlato, l’unico valore che attribuisco a questa lettera, cara A, è che ho il desiderio di raccontarti cose. Non vedo l’ora di riaverti in classe.

Un caro saluto, prof.